Exercice 4 (21-SPO1U12-TS1-EX4)
Soit le nombre complexe $z=2+2 i$.
$(1)$ Trouvez la forme exponentielle de $z$.
$(2)$ Calculez la partie réelle et la partie imaginaire de $z^3$.
On a $$z=2+2 i.$$
$(1)$ Mettre $z$ sous forme exponentielle revient à calculer son module $\lvert z \rvert$ et à déterminer son argument $\theta$ de telle sorte que l’on exprime $z$ sous la forme :
$$ z=\lvert z\rvert e^{i \theta}=|z| \cos (\theta)+i|z| \sin (\theta)$$
On a $$\lvert z \rvert = \sqrt(2^2 + 2^2) = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$ tandis que l’argument $\theta$ de $z$ est caractérisé par
$$\cos (\theta)=\frac{\operatorname{Re}(z)}{|z|}$$
$$\sin (\theta)=\frac{\operatorname{Im}(z)}{|z|}$$i.e., par
$$\cos (\theta)=\frac{2}{2 \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$$
$$\sin (\theta)=\frac{2}{2 \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
Notre connaissance sans faille du tableau des valeurs remarquables des fonctions trigonométriques
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline x & 0 & \dfrac{\pi}{6} & \dfrac{\pi}{4} & \dfrac{\pi}{3} & \dfrac{\pi}{2} \\
\hline \sin x & 0 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\
\hline \cos x & 1 & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{1}{2} & 0 \\
\hline \tan x & 0 & \dfrac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \sqrt{3} & \begin{array}{c}
\text { Non } \\
\text { définie }
\end{array} \\
\hline
\end{array}$$
nous permet d’obtenir immédiatement que
$$\theta=\dfrac{\pi}{4}$$ et nous avons donc établi que la forme trigonométrique de $z$ est
$$z=2 \sqrt{2} \,e^{\dfrac{\pi}{4}}$$
$(2)$ Calculons la partie réelle et la partie imaginaire de $z^3$. On a
$$\begin{aligned} z^3=\left(2 \sqrt{z} e^{\frac{\pi}{4}}\right)^3 \\ &= 2^3(\sqrt{2})^3 e^{\frac{3 \pi}{4}} \\ &=16 \sqrt{2} e^{\frac{3 \pi}{4}} \end{aligned}$$
On a donc
$$z^3=16 \sqrt{2} e^{\frac{3\pi}{4}}=16 \sqrt{2} \cos \left(\frac{3 \pi}{4}\right)+i16 \sqrt{2} \sin \left(\frac{3 \pi}{2}\right)$$
La connaissance de $\cos(\dfrac{pi}{4})$ et $\sin(\dfrac{pi}{4})$, combinée aux relations ci-dessous, valides pour tout $x\in \RR$,
$$\cos (\pi-x)=-\cos (x)$$
$$\sin (\pi-x)=\sin (x)$$
nous donnent
$$\cos \left(\pi-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right)$$
$$\cos \left(\dfrac{3 \pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\sin \left(\dfrac{3 \pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$
Ainsi,
$$\operatorname{Re}\left(z^3\right)=-\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}=-16$$
$$\operatorname{Im}\left(z^3\right)=\frac{16 \pi \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}=16$$
de telle sorte que
$$z^3=-16+16 i.$$