Exercice 2 (21-SPO1U12-TS1-EX2)
Soit $f(x)=\frac{\sqrt{-x}}{12+x^{2}}$ une fonction réelle.
$1)$ Déterminez $\mathcal{D}_{f}=\{x \in \mathbb{R}: f(x)$ existe $\}$, son domaine de définition.
$2)$ Calculez $f^{\prime}(x)$, la dérivée de $f$, et déterminer $\mathcal{D}_{f^{\prime}}=\left\{x \in \mathbb{R}: f^{\prime}(x)\right.$ existe $\}$, son domaine de définition
$3)$ Calculez $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)$, ainsi que $f(-2)$ et $f(0)$. Déterminez le signe de $f^{\prime}$ et dressez le tableau de variations de $f(x)$.
$4)$ Calculez le maximum et le minimum de $f(x)$ sur l’intervalle $\left] -\infty, 0 \right]$, et précisez pour quels $x$ ces valeurs sont atteintes.
$1)$ $$f(x)=\frac{\sqrt{-x}}{12+x^2}$$
Le dénominateur de cette fonction est toujours non-nul. Il ne pose donc pas problème.
En effet, notez que l’égalité $$12+x^2 = 0$$ est équivalente à $$x^2 = -12.$$
Il n’existe point de $x\in \RR$ pouvant satisfaire une telle égalité !
La contrainte est donc au niveau de la racine, au numérateur.
La fonction $$x \longmapsto \sqrt{x}$$ est définie sur $\left[0,+\infty\right[$ i.e.,
$$\mathcal{D}_f = \left\{x \in \mathbb{R}: x \leq 0\right\}.$$
La fonction $$x \longmapsto \sqrt{-x}$$ ne fait donc sens que sur $$\left]-\infty,0\right].$$
On a donc $$\mathcal{D}_f = \left[-\infty,0\right].$$
$2)$ On pose $$u=\sqrt{-x}, \quad u^{\prime}(x)=\frac{-1}{2 \sqrt{-x}}$$
$$v=12+x^2, \quad v^{\prime}(x)=2 x.$$ On a
$$\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-v^{\prime} u}{v^2}$$
$$f^{\prime}(x)=\frac{-1}{2 \sqrt{-x}}\left(12+x^2\right)-2 x \sqrt{-x}$$
$$f^{\prime}(x)=\frac{\sqrt{-x}}{\sqrt{-x}} f^{\prime}(x)$$
\begin{aligned} f^{\prime}(x)&=\dfrac{\frac{-\sqrt{-x}}{2 \sqrt{-x}}\left(12+x^2\right)-2 x \sqrt{-x} \sqrt{-x}}{\sqrt{-x}\left(12+x^2\right)^2} \\
&=\frac{-\frac{1}{2}\left(12+x^2\right)-2 x^2}{\sqrt{-a}\left(12+x^2\right)^2} \\
&=\frac{-\frac{1}{2}\left(12+x^2-4 x^2\right)}{\sqrt{-x}\left(12+x^2\right)^2} \\
&=\frac{-\frac{1}{2}\left(-3 x^2+12\right)}{\sqrt{-x}\left(12+x^2\right)^2} \\
&=\frac{3\left(x^2-4\right)}{2 \sqrt{-a}\left(12+x^2\right)^2}
\end{aligned} Remémorons nous l’identité remarquable
$$ a^2-b^2=(a+b)(a-b) $$ de façon à écrire
$$x^2-4=(a-2)(x+2) $$ Il vient ainsi
\begin{aligned}& f^{\prime}(x)=\frac{3(x-2)(x+2)}{2 \sqrt{-x}\left(12+x^2\right)^2} \end{aligned}
$$ \left.D_{f^{\prime}}=\right]-\infty, 0[$$
$3)$ Déterminons
$$
\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)
$$ Pour cela, écrivons notre fonction comme
\begin{aligned}
f(x)&=\frac{\sqrt{-x}}{12+x^2} \\
& =\frac{\sqrt{-x}}{x^2\left(1+\frac{12}{x^2}\right)} \\
& =\frac{\sqrt{\frac{-x^3 x}{x^3}}}{x^2\left(1+\frac{12}{x^2}\right)} \\
& =\frac{\sqrt{\frac{-x^4}{x^3}}}{x^2\left(1+\frac{12}{x^2}\right)} \\
& =\frac{\sqrt{x^4} \sqrt{\frac{-1}{x^3}}}{x^2\left(1+\frac{12}{x^2}\right)} \\
& =\frac{x^2 \sqrt{-\frac{1}{x^3}}}{x^2\left(1+\frac{12}{x^2}\right)} \\
& =\frac{\sqrt{\frac{1}{x^3}}}{1+\frac{12}{x^2}} \end{aligned}
On a
$$ \lim _{x \rightarrow-\infty} \sqrt{\frac{-1}{x^3}}=0 $$ et
$$ \lim _{x \rightarrow-\infty} 1+\frac{12}{x^2}=1.$$
Par conséquent,
$$\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\frac{0}{1}=0.$$
On a $$f(-2)=\frac{\sqrt{-(-2)}}{12+(-2)^2}=\frac{\sqrt{2}}{16} $$
et
$$ f(0)=\dfrac{\sqrt{-0}}{12+0^2}=\frac{0}{12}=0$$
Signe de $f^{\prime}(x)$
$$f^{\prime}(x)=\frac{3(x-2)(x+2)}{2 \sqrt{-x}\left(12+x^2\right)^2} $$
$$\left.\forall x \in D f^{\prime}=\right]-\infty, 0[ $$
$$2 \sqrt{-x}\left(12+x^2\right)^2>0$$
Le signe de $f^{\prime}(x)$ est donc exclusivement dépendant du signe de son numérateur.
$$
3(x-2)(x+2)
$$
$x=2 \quad$ car $2 \notin D_{f^{\prime}}$.
Tableau de signe.
Nous avons donc
- $f^{\prime}(x)>0$ quand $x<-2$,
- $f^{\prime}(x)<0$ quand $x>-2$,
- $f^{\prime}(x)=0$ quand $x=-2$.