Exercice 1 (21-SPO1U12-TS1-EX1)

Vecteurs dans l’espace à trois dimensions $(1+1+2+2+1$ points) Dans l’espace à trois dimensions $V$ muni de son repère orthonormé direct habituel, d’origine $O$ et d’axes $O x, O y$ et $O z$, on considère les points $A=(4,3,2)$, $B=(3,2,1)$, et $C=(0,1,2)$.

On note $M$ le milieu du segment $A B$, et $N$ le milieu du segment $B C$.

$(1)$ Soient les deux vecteurs $\vec{A} \vec{B}$ et $\vec{B} \vec{C}$. Ces deux vecteurs sont-ils colinéaires?

$(2)$ Soient les deux vecteurs $\vec{A} \vec{B}$ et $\overrightarrow{B C}$. Lequel de ces deux vecteurs a une plus grande longueur?

$(3)$ Trouvez, parmi les vecteurs suivants:

$\overrightarrow{C A}, \overrightarrow{O A}, \overrightarrow{N A}$ el $\overrightarrow{N M}$

la seule valeur du vecteur $\vec{v}$ telle que $\mathcal{B}=(\vec{v}, \overrightarrow{A B}, \vec{B} \vec{C})$ soit une base de $V$.

$(5)$ Calculez les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{C A}, \overrightarrow{O A}, \overrightarrow{N A}$ et $\overrightarrow{N M}$ clans la base $\mathcal{B}$.

$(6)$ Trouvez l’aire du triangle $A B C$.

$$A=\left(\begin{array}{l}4 \\ 3 \\ 2\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 1\end{array}\right),\quad C=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 2\end{array}\right).$$ $(1)$ Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{B C}$ sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est le vecteur nul :
$$ \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}. $$
On a $$\overrightarrow{A B}=\left(\begin{array}{l}
3-4 \\
2-3 \\
1-2
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
-1 \\
-1 \\
-1
\end{array}\right),$$
$$\overrightarrow{B C}=\left(\begin{array}{c}
0-3 \\
1-2 \\
2-1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
-3 \\
-1 \\
1
\end{array}\right).$$
et ainsi
\begin{aligned}
\overrightarrow{A B} \wedge \overrightarrow{B C} & =\left(\begin{array}{l}
-1 \\
-1 \\
-1
\end{array}\right) \wedge\left(\begin{array}{c}
-3 \\
-1 \\
1
\end{array}\right) \\
& =\left(\begin{array}{c}
(-1) \cdot 1-(-1) \cdot(-1) \\
-[(-1) \cdot 1-(-3)(-1)] \\
(-1)(-1)-(-3)(-1)
\end{array}\right) \\
& =\left(\begin{array}{c}
-1-1 \\
-[-1-3] \\
1-3
\end{array}\right) \\
& =\left(\begin{array}{c}
-2 \\
4 \\
-2
\end{array}\right)
\end{aligned}
Nous obtenons ainsi que
$$\overrightarrow{A B} \wedge \overrightarrow{B C} \neq \overrightarrow{0}$$ et concluons que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ ne sont pas colinéaires !

$(2)$ \begin{aligned}
\|\overrightarrow{A B}\| & =\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+(-1)^2} \\
& =\sqrt{3} \\
\|\overrightarrow{B C}\| & =\sqrt{(-3)^2+(-1)^2+1^2} \\
& =\sqrt{9+1+1} \\
& =\sqrt{11} \end{aligned} et ainsi
$$\|\overrightarrow{A B}\| <\|\overrightarrow{B C}\|$$

$(3)$ Le vecteur $\overrightarrow{O A}$ est tel que $\mathcal{B}=(\overrightarrow{O A}, \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{B C})$ forme une base de l’espace.

$(5)$ On a $$\begin{aligned}
\overrightarrow{C A} & =\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{B A} \\
& =-\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{B C} \end{aligned}$$ d’où $$\overrightarrow{C A}=\left(\begin{array}{c}0 \\-1 \\-1\end{array}\right) $$
On a $$ \overrightarrow{O A}=\overrightarrow{O A}+0 \cdot \overrightarrow{A B}+0 \cdot \overrightarrow{B C} $$ et ainsi $$\overrightarrow{O A}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{N A}=\overrightarrow{N B}+\overrightarrow{B A}$$
$$\overrightarrow{N B}=\frac{1}{2} \overrightarrow{C B}$$
et ainsi $$\begin{aligned}
\overrightarrow{N A} & =\frac{1}{2} \overrightarrow{C B}+\overrightarrow{B A} \\
& =-\overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}
\end{aligned}$$
Par conséquent $$\overline{N A}=\left(\begin{array}{c}
0 \\
-1 \\
\frac{1}{2}
\end{array}\right)$$
On a $$\begin{aligned}
& \overrightarrow{M M}=\overrightarrow{N A}+\overrightarrow{A M} \\
& \overrightarrow{A M}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}
\end{aligned}$$
$$\begin{aligned}
\overrightarrow{N M} & =-\overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}+\frac{1}{2} \overrightarrow{A B} \\
& =\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}
\end{aligned}$$

$(vi)$ $$\operatorname{ Aire }(A B C)=\frac{\|\overrightarrow{A B} \wedge \overrightarrow{B C}\|}{2}$$
Nous avons vu en 1) que
$$ \overrightarrow{A B} \wedge \overrightarrow{B C}=\left(\begin{array}{c}-2 \\4 \\-2\end{array}\right)$$
Ainsi $$\begin{aligned}\|\overrightarrow{A B} \wedge \overrightarrow{B C}\| & =\sqrt{(-2)^2+4^2+(-2)^2} \\ & =\sqrt{4+16+4} \\ & =\sqrt{24} \\ & =\sqrt{3.8} \\ & =\sqrt{3.4 .2} \\ & =2 \sqrt{6}\end{aligned}$$
et l’on obtient $$ \operatorname{Aire}(ABC) = \frac{\|\overrightarrow{A B} \wedge \overrightarrow{B C}\|}{2}=\sqrt{6}.$$