Exercice 3 (22-SPO1U12-P1-EX3)

Soit dans le plan le parallélogramme non aplati $A B C D$. Sur la diagonale $B D$ on considère les points $E$ et $F$, dans l’ordre $B, E, F$ et $D$, tels que les longueurs des segments $B E$ et $F D$ soient égales, et égales à la moitié de la longueur du segment $E F$.

$i)$ Parmi les couples de vecteurs $(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}),(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}),(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{C D})$ et $(\overrightarrow{A C}, \overrightarrow{B D})$ précisez celui ou ceux qui ne sont pas de bases du plan $V_{2}$.
$ii)$ Trouver les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{B D}, \overrightarrow{A B}$ et $\overrightarrow{A C}$ dans la base $(\overrightarrow{A E}, \overrightarrow{A F})$ (Indication : par la relation de Chasles, on décomposera les vecteurs proposés par l’éononcé, en fonction des vecteurs de la base.
$iii)$ Calculez, toujours dans la base $(\overrightarrow{A E}, \overrightarrow{A F})$, les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{C F}$. Est-ce que le couple $(\overrightarrow{A E}, \overrightarrow{C F})$ est une base du plan $V_{2}$ ?

$i)$

• Couple $(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C})$ : $A B C$ est un triangle non-aplati. Par conséquent, les vecteurs $\overrightarrow{A B}$ et $\overrightarrow{A C}$ sont non colinéaires. La paire $(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C})$ forme ainsi une base du plan, dénoté par $V_2$ dans ce cours.
• Couple $(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}): A B D$ est un triangle non-aplati. $\overrightarrow{A B}$ et $\overrightarrow{A D}$ sont donc non-colinéaires. La paire $(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D})$ forme donc une base de $V_2$.
• Couple $(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{C D}):$ Les vecteurs $\overrightarrow{A B}$ et $\overrightarrow{C D}$ sont associés à des côtés opposés du parallélogramme $A B C D$ : On a $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C}=-\overrightarrow{C D}$. Les vecteurs $\overrightarrow{A B}$ et $\overrightarrow{C D}$ sont donc colinéaires et ne peuvent pas former une base de $V_2$.
• Couple $(\overrightarrow{A C}, \overrightarrow{B D}):$ Les vecteurs $\overrightarrow{A C}$ et $\overrightarrow{B C}$ sont associés aux diagonales du parallélogramme non-aplati $A B C D$, les vecteurs $\overrightarrow{A C}$ et $\overrightarrow{B D}$ ne sont pas colinéaires et forment donc une base de $V_2$.

$ii)$ On a $$\overrightarrow{E F}=\overrightarrow{E A}+\overrightarrow{A F}=-\overrightarrow{A E}+\overrightarrow{A F}.$$

Ainsi, $$\overrightarrow{E F}=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
1
\end{array}\right)$$

où les coordonnées sont données par rapport à la base $$(\overrightarrow{A E}, \overrightarrow{A F})$$ de $V_2$.

On a $$\overrightarrow{B D}=2 \overrightarrow{E F}=2\left(\begin{array}{c}
-1 \\
1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
-2 \\
2
\end{array}\right)$$

ou encore \begin{aligned}
\overrightarrow{B D}=2 \overrightarrow{E F} &=2(\overrightarrow{E A}+\overrightarrow{A F}) \\
&=-2 \overrightarrow{A E}+2 \overrightarrow{A F}
\end{aligned}

Ainsi, par rapport à la base $(\overrightarrow{A E}, \overrightarrow{A F})$,

$$\overrightarrow{B D}=\left(\begin{array}{c}
-2 \\
2
\end{array}\right)$$

On a $$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A E}+\overrightarrow{E B}.$$

L’énoncé nous donne $$\overrightarrow{E B}=-\frac{1}{4} \overrightarrow{B D}$$ et on a

$$\overrightarrow{B D}=-2 \overrightarrow{A E}+2 \overrightarrow{A F}.$$

Ainsi, \begin{aligned}
\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A E}-\frac{1}{4} \overrightarrow{B D} &=\overrightarrow{A E}-\frac{1}{4}(-2 \overrightarrow{A E}+2 \overrightarrow{A F}) \\
&=\overrightarrow{A E}+\frac{1}{2} \overrightarrow{A E}-\frac{1}{2} \overrightarrow{A F}
\end{aligned}et nous obtenons finalement

$$\overrightarrow{A B}=\frac{3}{2} \overrightarrow{A E}-\frac{1}{2} \overrightarrow{A F}$$

Ainsi, $$\overrightarrow{A B}=\left(\begin{array}{c}\frac{3}{2} \\ -\frac{1}{2}\end{array}\right).$$

$iii)$ On a $$\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}$$ car le fait que $ABCD$ soit un parallélogramme nous donne $\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A D}$.

On a $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A E}+\overrightarrow{E B}$, on a également $$\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A F}+\overrightarrow{F D}\qquad \text{et} \qquad \overrightarrow{F D}=-\overrightarrow{E B}$$ par observation de la figure.

Ainsi, on a

$$\begin{aligned} \overrightarrow{A C} &=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D} \\ &=(\overrightarrow{A E}+\overrightarrow{E B})+(\overrightarrow{A F}+\overrightarrow{F D}) \\ &=\overrightarrow{A E}+\overrightarrow{A F}+\overrightarrow{E B}+\overrightarrow{F D} \\ &=\overrightarrow{A E}+\overrightarrow{A F}+\overrightarrow{E B}-\overrightarrow{E B} \\ &=\overrightarrow{A E}+\overrightarrow{A F} \end{aligned}$$

Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{A C}$ par rapport a la base $(\overrightarrow{A E}, \overrightarrow{A F})$ sont donc $$\overrightarrow{A C}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right).$$

Nous pouvons écrire $\overrightarrow{C F}=\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{A F}$. On a tout juste montré, ci-dessus, que $$\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A F}.$$

Ainsi, $\overrightarrow{C A}=-\overrightarrow{A E}-\overrightarrow{A F}$ et il vient alors

$$\begin{aligned} \overrightarrow{C F} &=(-\overrightarrow{A E}-\overrightarrow{A F})+\overrightarrow{A F} \\ &=-\overrightarrow{A E} \end{aligned}$$

d’où $$\overrightarrow{C F}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 0\end{array}\right).$$

Il est clair que les vecteurs $\ve{CF}$ et $\ve{AE}$ sont colinéaires.

La paire $(\ve{CF}, \ve{AE})$ ne peut donc pas former une base de $V_2$.