Exercice 4 (22-SPO1U12-P1-EX4)

Soit dans l’espace $V_3$ les trois vecteurs $\vec{u}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right), \vec{v}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ -1 \\ -1\end{array}\right)$ et $\vec{w}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ -1\end{array}\right)$, les coordonnées étant prises par rapport à une base $B$ orthonormée directe. On admet que le triplet $B_1=(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ est une base de l’espace vectoriel $V_3$.
$i)$ Est-ce que la base $B_1$ est orthonormée ?
$ii)$ Calculez les coordonnées des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ dans la base $B_1$. Calculez également les coordonnées du vecteur $\vec{u} \wedge \vec{v}$ dans la base $B_1$.
$iii)$ Soit $\vec{a}$ le vecteur qui a dans la base $B_1$ les cordonnées $\left(\begin{array}{c}-1 \\ -1 \\ -1\end{array}\right)$. Quelles sont les coordonnées du vecteur $\vec{a}$ dans la base $B$ ?

$i)$ On a $$\begin{aligned}\|\vec{v}\|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+(-1)^2} &=\sqrt{3} \\ &\neq 1 \end{aligned}$$

La base $B_1 =(\vec{v}, \vec{v}, \vec{w})$ n’est ainsi pas normée, et ne peut donc pas être orthonormée.

Pour mémoire, une base est dite orthonormée lorsque les vecteurs qui la forment ont une norme égale à $1$ (la base est dite normée) et sont orthogonaux deux à deux (la base est dite orthogonale).

On a $$\begin{aligned} \vec{a}=\left(\begin{array}{l}-1 \\ -1 \\ -1\end{array}\right) &=-\vec{u}-\vec{v}-\vec{w} \\ &=-\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{l}-1 \\ -1 \\ -1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ -1\end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{c}-1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 3\end{array}\right) \end{aligned}$$

Les coordonnées du vecteur $\ve{a}$ dans la base $B$ sont donc

$$\vec{a}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 3\end{array}\right).$$

$iii)$ On a $$\vec{u}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) \qquad \text{et} \qquad \vec{v}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$$ par rapport à la base $B_1 = (\ve{u},\ve{v},\ve{w})$.

$iv)$ \begin{align} \vec{u} \wedge \vec{v}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right) \wedge\left(\begin{array}{c}-1 \\ -1 \\ -1\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{c}1(-1)-(-1)(-1) \\ -(1(-1)-(-1)(-1)) \\ 1(-1)-(-1) 1\end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{c}-2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right) \end{align}

On pose $$\left(\begin{array}{c}-2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)=x\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)+y\left(\begin{array}{l}-1 \\ -1 \\ -1\end{array}\right)+z\left(\begin{array}{l}1 \\ -1 \\ -1\end{array}\right).$$

Cette expression est équivalente au système de trois équations à trois inconnues $x,y$ et $z$, ci-dessous :

$$\begin{cases}-2=x-y+z & (L_1) \\ 2=x-y-z & (L_2) \\ 0=-x-y-z & (L_3)\end{cases}$$

Commençons par substituer $\left(L_1\right)+\left(L_2\right)$ à $L_1$, i.e., on obtient un système équivalent via $$\left(L_1\right) \longmapsto\left(L_1\right)+\left(L_2\right).$$ Cela nous donne

$$\left\{\begin{array}{l}0=2 x-2 y+z-z \\ 2=x-y-z \\ 0=-x-y-z\end{array}\right.$$

Notons que l’égalité $2 x-2 y+z-z=0$ est équivalente à $2x=2y$, i.e., à $x=y$.

Le système ci-dessus est équivalent à $$
\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
x=y \\
z=-2 \\
0=-2 x+2
\end{array}\right.
$$

où l’on a utilisé le fait que $x=y$ pour simplifier la seconde équation et obtenir $z=-2$.

Ainsi, on a $$
\left\{\begin{array}{l}
x=y \\
z=-2 \\
x=1
\end{array}\right.
$$

et il vient immédiatement

$$x=1, \quad y=1, \quad z=-2.$$

Par conséquent, les coordonnées de $\ve{u} \wedge \ve{v}$ dans la base $B_1$ sont $$\vec{u} \wedge \vec{v}=\left(\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
-2
\end{array}\right).
$$

Notons qu’il est impossible d’obtenir ce produit vectoriel dans la base $B_1$ via calcul direct !

En effet, la formule de calcul d’un produit vectoriel ne peut être appliquée que dans un contexte où les coordonnées des vecteurs sont exprimées par rapport à une base orthonormée ! Or, nous avons montré dès la question $i)$ que la base $B_1$ n’est pas orthonormée !

\begin{aligned} \left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right) \wedge \left(\begin{array}{l}x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}y z^{\prime}-z y^{\prime} \\ -(z^{\prime} x-x^{\prime} z) \\ x y^{\prime}-y x^{\prime} \end{array}\right) \end{aligned}