Exercice 2 (22-SPO1U12-P1-EX2)

Soit dans l’espace à trois dimensions les points $A=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{c}2 \\ 0 \\ -2\end{array}\right)$, $C=\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)$ et $D=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$, leurs coordonnées étant prises par rapport à un repère orthonormé direct.
$i)$ Calculez le produit vectoriel $\overrightarrow{A B} \wedge \overrightarrow{A C}$, le double produit vectoriel $(\overrightarrow{A B} \wedge \overrightarrow{A C}) \wedge \overrightarrow{A D}$, ainsi que le produit mixte $[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A D}]$.
$ii)$ Déterminez si le vecteur $\overrightarrow{A D}$ est coplanaire avec les vecteurs $\overrightarrow{A B}$ et $\overrightarrow{A C}$.
$iii)$ Déterminez si vecteur $\overrightarrow{A D}$ est perpendiculaire au plan des vecteurs $\overrightarrow{A B}$ et $\overrightarrow{A C}$.

$i)$ On a $\quad \overrightarrow{A B}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ -3\end{array}\right), \quad \overrightarrow{A C}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)$
et $$\overrightarrow{A D}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$$
Calculons le produit vectoriel
$\overrightarrow{A B} \wedge \overrightarrow{A C}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ -3\end{array}\right) \wedge\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}(-1)(-1)-1(-3) \\ -[1(-1)-1(-3)] \\ 1 \cdot 1-1(-1)\end{array}\right)$
$$
=\left(\begin{array}{c}
1+3 \\
-[-1+3] \\
1+1
\end{array}\right)
$$

Ainsi, nous avons $\overrightarrow{A B} \wedge \overrightarrow{A C}=\left(\begin{array}{c}4 \\ -2 \\ 2\end{array}\right)$.

Calculons $(\overrightarrow{A B} \wedge \overrightarrow{A C}) \wedge \overrightarrow{A D}$ :
$$
(\overrightarrow{A B} \wedge \overrightarrow{A C}) \wedge \overrightarrow{A D}=\left(\begin{array}{c}
4 \\
-2 \\
2
\end{array}\right) \wedge\left(\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
0 \\
-2 \\
-2
\end{array}\right)
$$

En ce qui concerne le produit mixte des vecteurs $\ve{AB}, \ve{AC}$ et $\ve{AB}$ :

\begin{aligned}
{[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A D}] } &=(\overrightarrow{A B} \wedge \overrightarrow{A C}) \cdot \overrightarrow{A D} \\
&=\left(\begin{array}{c}
4 \\
-2 \\
2
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
0
\end{array}\right)=-4
\end{aligned}

$ii)$ On a \begin{aligned}
[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A D}] &=-4 \\
& \neq 0
\end{aligned}

$\ve{A D}$ n’est donc pas coplanaire avec $\ve{AB}$ et $\ve{AC}$.

$iii)$ $\overrightarrow{A D}$ est perpendiculaire au plan engendré par $\overrightarrow{A B}$ of $\overrightarrow{A C}$ si et seulement si

$$\left\{\begin{array}{l}
\overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{A B}=0 \\
\overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{A C}=0
\end{array}\right.$$

On a \begin{aligned}
\overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{A B} &=\left(\begin{array}{r}
-1 \\
0 \\
0
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
-3
\end{array}\right) \\
&=(-1) \cdot 1+0(-1)+0(-3) \\
&=-1 \\
& \neq 0
\end{aligned}

et

\begin{aligned}
\overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{A C} &=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
0
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
-1
\end{array}\right) \\
&=(-1) \cdot 1+0 \cdot 1+0 \cdot(-1) \\
&=-1 \\
& \neq 0
\end{aligned}

Le vecteur $\ve{AD}$ n’est donc pas perpendiculaire au plan engendré par $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.