Exercice 1 (22-SPO1U12-P1-EX1)

Dans l’espace à trois dimensions, soient trois points $A, B$, et $C$, et deux vecteurs $\overrightarrow{v_1}$ et $\overrightarrow{v_2}$. Pour chacune des phrases $1.$ à $4.$, indiquez, parmi les quatre variantes proposées à chaque fois, celle qui complète et rend correcte la phrase :

1. Les vecteurs $\overrightarrow{v_1}$ et $\overrightarrow{v_2}$ sont colinéaires …
   • $a)$ si et seulement si un des vecteurs $\overrightarrow{v_1}$ et $\overrightarrow{v_2}$ est le vecteur nul
   • $b)$ si et seulement si le produit vectoriel $\overrightarrow{v_1} \wedge \overrightarrow{v_2}$ est le vecteur nul
   • $c)$ si et seulement si le produit scalaire $\overrightarrow{v_1} \cdot \overrightarrow{v_2}$ est égal à zéro
   • $d)$ si et seulement si la somme $\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}$ est le vecteur nul
2. Les points $A, B$ et $C$ sont alignés …
   • $a)$ si et seulement si un des vecteurs $\overrightarrow{A B}$ et $\overrightarrow{A C}$ est le vecteur nul
   • $b)$ si et seulement si l’aire du triangle $A B C$ est nulle
   • $c)$ si et seulement si le produit scalaire $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}$ est le vecteur nul
   • $d)$ si et seulement si la somme $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}$ est le vecteur nul
3. Le résultat du produit vectoriel $\overrightarrow{v_1} \wedge \overrightarrow{v_2} \ldots$
   • $a)$ est toujours un vecteur colinéaire en même temps à $\overrightarrow{v_1}$ et $\overrightarrow{v_2}$
   • $b)$ est toujours un vecteur non-nul
   • $c)$ est toujours un nombre réel différent de zéro
   • $d)$ est toujours un vecteur orthogonal en même temps à $\overrightarrow{v_1}$ et $\overrightarrow{v_2}$
4. Les vecteurs $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$ et $\overrightarrow{B C}$ forment une base de l’espace $V_3 \ldots$
   • $a)$ si et seulement si un des vecteurs $\overrightarrow{A B}$ et $\overrightarrow{A C}$ est le vecteur nul
   • $b)$ jamais
   • $c)$ si et seulement si le produit scalaire $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}$ est égal à zéro
   • $d)$ si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$ et $\overrightarrow{B C}$ sont coplanaires

1. Réponse $b)$
2. Réponse $b)$
3. Réponse $d)$
4. Réponse $b)$