Exercice 4 (22-SPO1U12-P2-EX4)

Soit la fonction $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{2-e^{3 x}}{1-e^{3 x}}$.
$i)$ Trouvez $\mathcal{D}_f=\{x \in \mathbb{R}: f(x)$ existe $\}$, le domaine maximal d’existence de $f$.
$ ii)$ Soient les équations (E1) : $f(x)=0$, et (E2) : $f(x)=1$. Trouvez $D_1$ et $D_2$ les ensembles de solutions des équations $E_1$ et $E_2$ (attention : l’un ou l’autre de ces ensembles peuvent être vides).
$ iii) $ Calculez $f^{\prime}(x)$, la dérivée de $f(x)$, et déterminer son signe.
$ iv)$ Calculez $\lim _{x \rightarrow 0, x>0} f(x)$ et $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$
$ v)$ Considérons la fonction $g:] 0,+\infty[\rightarrow]-\infty, 1\left[, g(x)=\frac{2-e^{3 x}}{1-e^{3 x}}\right.$; on admet que $g$ est bijective. Déterminez $g^{-1}$, sa fonction réciproque.

$i)$ Considérons $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ définie par $$f(x)=\frac{2-e^{3 x}}{1-e^{3 x}} $$ Déterminons $D_f$, le domaine de définition de la fonction $f$ étudiée. Le numérateur $2-e^{3 x}$ est défini sur $\mathbb{R}$ tout entier. Le dénominateur ne doit par contre jamais s’annuler afin de $f$ fasse sens. On a donc $x\in D_f$ si et seulement si $1-e^{3 x} \neq 0$. \begin{aligned}& \quad1-e^{3 x}=0 \; \Leftrightarrow \; e^{3 x}=1 \; \Leftrightarrow \; \ln \left(e^{3 x}\right)=\ln (1)\end{aligned} La dernière égalité nous donne $3x=0$, i.e., $$x=0.$$ Ainsi, $$\begin{aligned} D_f &= \mathbb{R} \; \backslash \; \{0\} \\ &= \mathbb{R}^\ast. \end{aligned}$$

$ii)$ Résoudre $f(x) = 0$ et $f(x) = 1$.

Résolution de $f(x) = 0$ : $$\begin{aligned} f(x)=0 & \Leftrightarrow \frac{2-e^{3 x}}{1-e^{3 x}}=0 \\ & \Leftrightarrow 2-e^{3 x}=0 \\ & \Leftrightarrow e^{3 x}=2 \\ & \Leftrightarrow \ln\left(e^{3 x}\right)=\ln (2) \\ & \Leftrightarrow 3 x=\ln (2) \\ & \Leftrightarrow x=\frac{\ln (2)}{3} \end{aligned}$$

Résolution de $f(x) = 1$ : $$\begin{aligned} f(x)=1 & \Leftrightarrow \frac{2-e^{3 x}}{1-e^{3 x}}=1 \\ & \Leftrightarrow 2-e^{3 x}=1-e^{3 x} \end{aligned}$$ et cette dernière égalité nous conduit à la contradiction $$2=1.$$ L’équation $f(x)=1$ n’a donc pas de solution !

$iii)$ $$f(x)=\frac{2-e^{3 x}}{1-e^{3 x}}$$ Calculer $f^{\prime}(x)$ et determiner son signe. Notons que $f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=2-e^{3 x}$ et $v(x)=1-e^{3 a}$ Rappel : $$ \left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-v^{\prime} u}{v^2}$$ On a $$\left(2-e^{3 x}\right)^{\prime}=-3 e^{3 x}.$$ On a utilisé $$\left(e^{a x}\right)^{\prime}=a e^{a x}.$$ On a $$\left(1-c^{3 x}\right)^{\prime}=-3 e^{3 x} .$$ Ainsi $$ \begin{aligned} f^{\prime}(x)&=\frac{-3 e^{3 x}\left(1-e^{3 x}\right)+3 e^{3 x}\left(2-e^{3 x}\right)}{\left(1-e^{3 x}\right)^2} \\ & =\frac{3 e^{3 x}\left[\left(2-e^{3 x}\right)-\left(1-e^{3 x}\right)\right]}{\left(1-e^{3 x}\right)^2} \\ & =\frac{3 e^{3 x}\left[2-1-e^{3 x}+e^{3 x}\right]}{\left(1-e^{3 x}\right)^2} \\ & =\frac{3 e^{3 x}}{\left(1-e^{3 x}\right)^2} \end{aligned}$$ On a donc $$ f^{\prime}(x)=\frac{3 e^{3 x}}{\left(1-e^{3 x}\right)^2} $$ Notons que $e^x >0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, même chose pour $3 e^{3x}$ : $$\forall x \in \mathbb{R}, \; \, 3e^{3x} >0.$$ Un carré étant toujours positif, et le dénominateur de $f^{\prime}$ ne s’annulant que lorsque $x=0$, où l’on se remémore que $D_f = \mathbb{R}^{\ast}$, i.e., $0\notin D_f$, on a } $$f^{\prime}(x) > 0$$ for all $x\in D_f$.

$iv)$ Calculer $$\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) \qquad \text{ainsi que} \qquad \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)$$ $$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{2-e^{3 x}}{1-e^{3 x}}$$ Notons que $$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} 2-e^{3 x}=1$$ et que $$\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 0^{+}} 1-e^{3 x} & =1-1^{+} \\ & =0^{-} \end{aligned}$$ Notons également que $$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} e^{3 x}=1^{+}$$, i.e., $e^{3x}$ approche $1$ par valeurs supérieures lorsque que $x\rightarrow 0^{+}$. Ainsi, $$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\frac{1}{0^{-}}=-\infty.$$ On a Calculons $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ : $$\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)&= \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2-e^{3 x}}{1-e^{3 x}} \\ & =\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{3 x}\left(\frac{2}{e^{3 x}}-1\right)}{e^{3 x}\left(\frac{1}{c^{3 x}}-1\right)} \\ & =\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\frac{2}{e^{3 x}}-1}{\frac{1}{e^{3 x}}-1} \\ & \end{aligned}$$ Notons que $$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2}{e^{3 x}}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{e^{3 x}}=0$$ Ainsi, $$\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) & =\frac{0-1}{0-1} \\ & =\frac{-1}{-1}=1\end{aligned}.$$

$v)$ Considérons $$g: \left]0,+\infty\right[ \longrightarrow \left]-\infty, 1\right[$$ définie par $$g(x)=\frac{2-e^{3 x}}{1-e^{3 x}}.$$ On admet que $g$ est bijective. Déterminons $g^-1$, sa fonction réciproque. Remarque : L’hypothèse de bijectivité est ici essentielle et garantit l’existence de $g^-1$, la réciproque de $g$. Considérons $$y \in \left]-\infty,1\right[$$où $\;\left]-\infty,1\right[$ est le codomaine de $g$. Posons $g(x)=y$. Trouver $g^-1$ revient à exprimer $x$ en fonction de $y$. $$g(x)=y \Longleftrightarrow \frac{2-c^{3 x}}{1-c^{3 x}}=y$$ Cette dernière égalité nous donne $$\begin{aligned} &\quad\; \left(2-e^{3 x}\right)=y\left(1-e^{3 x}\right) \\ &\Leftrightarrow 2-e^{3 x}=y-y c^{3 x} \\ &\Leftrightarrow y e^{3 x}-e^{3 x}=y-2 \\ &\Leftrightarrow e^{3 x}(y-1)=y-2 \\ & \Leftrightarrow e^{3 x}=\frac{y-2}{y-1} \\ & \Leftrightarrow e^{3 x}=\frac{-(2-y)}{-(1-y)} \\ & \Leftrightarrow e^{3 x}=\frac{2-y}{1-y} \\ & \Leftrightarrow \ln\left(e^{3 x}\right)=\ln\left(\frac{2-y}{1-y}\right) \\ & \Leftrightarrow 3 x=\ln \left(\frac{2-y}{1-y}\right) \\ & \Leftrightarrow x=\frac{1}{3} \ln \left(\frac{2-y}{1-y}\right) \end{aligned} $$ Comme $y \in\left]-\infty, 1\right[$, notons que $$ \frac{2-y}{1-y}>0.$$ La fonction réciproque $g^{-1}$ de $g$ est ainsi définie par : \begin{aligned} & g^{-1}: \left]-\infty, 1\right[\longrightarrow \left] 0, +\infty\right[ \\ & g^{-1}: y \longmapsto \frac{1}{3} \ln \left(\frac{2-y}{1-y}\right) \end{aligned}