Exercice 3 (22-SPO1U12-P2-EX3)

Calculez les limites suivantes :

$i)$ $\lim _{x \rightarrow+\infty} x-\sqrt{x^2+x+1}$
$ii)$ $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin (x)}\right)$.

$i)$ On veut calculer $$\lim _{x \rightarrow \infty} x-\sqrt{x^2+x+1}.$$
Nous avons ici une forme indéterminée (FI)
$$\infty-\infty .$$
Sur une fonction de ce type, nous allons utiliser la technique standard qui consiste a passer de $$(a-b)\qquad \text{à} \qquad \dfrac{(a-b)(a+b)}{(a+b)}$$ où l’on se remémore que $$(a+b)(a-b)=a^2-b^2.$$
On a
$$\begin{aligned} x-\sqrt{x^2+x+1} & =\frac{\left(x \sqrt{x^2+x+1}\right)\left(x+\sqrt{x^2+x+1}\right)}{\left(x+\sqrt{x^2+x+1}\right)} \\ & =\frac{x^2-\left(\sqrt{x^2+x+1}\right)^2}{x+\sqrt{x^2+x+1}} \\ & =\frac{x^2-\left(x^2+x+1\right)}{x+\sqrt{x^2+x+1}} \\ & =\frac{-x-1}{x+\sqrt{x^2+x+1}} \end{aligned}$$
Factorisons $x$ au numérateur et au dénominateur :
$$\begin{aligned}\frac{-x-1}{x+\sqrt{x^2+x+1}} & =\frac{x\left(-1-\frac{1}{x}\right)}{x+\sqrt{x^2\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}} \\ & =\frac{x\left(-1-\frac{1}{x}\right)}{x\left(1+\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}\right)} \\ & =\frac{-1-\frac{1}{x}}{1+\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}} \end{aligned} $$
On a $$\lim _{x \rightarrow +\infty} \;-1-\frac{1}{x}=-1$$ et
$$\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow \infty} & 1+\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}} \\= & 1+\sqrt{1}=1+1=2 \end{aligned}$$
Nous obtenons ainsi $$\lim _{x \rightarrow \infty} x-\sqrt{x^2+x+1}=-\frac{1}{2}.$$

$ii)$Calculer $$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}-\frac{1}{\sin (x)}.$$
Tout d’abord, notons que l’on a $$\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin (x)}=\frac{\sin (x)-x}{x \sin (x)}.$$
Rappel : Soient $f_1$ et $f_2$ deux fonctions dérivables en un point $a$ et satisfaisant $$f_1(a)=f_2(a)=0.$$ On suppose de plus que $f_2^{\prime}(a) \neq 0$.
Alors la règle de l’Hospital stipule que $$\lim _{x \rightarrow a} \frac{f_1(x)}{f_2(x)}=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f_1^{\prime}(x)}{f_2^{\prime}(x)}.$$
On pose $f_1(x)=\sin (x)-x$. On a $f_1(0)=0$. Notons que $f_1(x)$ est dérivable en $0$, et on a
$$f_1^{\prime}(x)=\cos (x)-1.$$ On pose $f_2(x)=x \sin(x)$. On a $f_2(0)=0$. On a $$f_2^{\prime}(x)=\sin (x)+x \cos (x).$$ Notons que $f_2^{\prime}(0)=0+0.1=0$. La règle de l’Hospital ne peut donc pas être utilisée directement, i.e., on ne peut pas obtenir la limite désirée à partir de $$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f_1(x)}{f_2(x)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f_1^{\prime}(x)}{f_2^{\prime}(x)}.$$ Appliquons la règle de l’Hospital en $0$ à $$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f_1^{\prime}(x)}{f_2^{\prime}(x)}.$$ On a $$f_{1}^{\prime}(0) = 0 = f_2^{\prime}(0).$$ De même, on a $$f_1^{\prime \prime}(x)=-\sin (x).$$ et
$$ \begin{aligned} f_2^{\prime \prime}(x) & =\cos (x)+\cos (x)-x \sin (x) \\& =2 \cos (x)-x \sin (x) .\end{aligned}$$ On a $$f_1^{\prime \prime}(0)=0 \quad \text{et} \quad f_2^{\prime \prime}(0)=2\neq 0.$$
Par conséquent, $$\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f_1^{\prime}(x)}{f_2^{\prime}(x)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f_1^{\prime \prime}(x)}{f_2^{\prime \prime}(x)} & =\frac{f_1^{\prime \prime}(0)}{f_2^{\prime \prime}(0)} \\ & =\frac{0}{2}=0 \end{aligned} $$

En conclusion,

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f_1(x)}{f_2(x)}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f_1^{\prime \prime}(x)}{f_{2}^{\prime \prime}(x)}=0.$$