Exercice 2 (22-SPO1U12-P2-EX2)

On considère les fonctions suivantes, définies sur l’intervalle $] 0 ;+\infty[$.
$$
f_1(x)=\frac{2}{x^2}, \quad f_2(x)=\frac{\ln (x)}{3}, \quad f_3(x)=\frac{3}{x}, \quad f_4(x)=\ln (\sqrt{x}), \quad f_5(x)=-\frac{2}{x}$$ $$ f_6(x)=\ln \left(x^2\right)$$
$i)$ Calculez les dérivées de ces six fonctions.
$ii)$ Parmi ces six fonctions, trouvez-en une qui soit la dérivée d’une autre fonction de cette même liste.

$i)$

$$\begin{aligned} & \left(x^n\right)^{\prime}=n x^{n-1} \\ & \left(x^{-n}\right)^{\prime}=-n x^{-(n+1)} \end{aligned}$$

$$f_1(x)=\frac{2}{x^2}=2 x^{-2}$$ $$f_1^{\prime}(x)=-4 x^{-3}=-\frac{4}{x^3}$$ $$\begin{aligned} & (\ln (x))^{\prime}=\frac{1}{x} \end{aligned}$$

$$(k f)^{\prime}=k f^{\prime}, \quad k \in \mathbb{R}$$

$$f_2(x)=\frac{\ln (x)}{3}$$ $$f_2^{\prime}(x)=\frac{1}{3 x}$$

$$\left(x^{-n}\right)^{\prime}=-n x^{-(n+1)}$$

$$f_3(x)=\frac{3}{x}=3 x^{-1}$$ $$\begin{aligned} f_3{ }^{\prime}(x) & =-3 x^{-2} \\ & =-\frac{3}{x^2}\end{aligned}$$

$$(u \circ v)^{\prime}(x)=u^{\prime}(v(x)) v^{\prime}(x)$$

$$\begin{aligned} & u=\ln (x) \\ & v=\sqrt{x} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} f_4(x) & =\ln (\sqrt{x}) \\ f_4^{\prime}(x) & =\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} \\ & =\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}=\frac{1}{2 x} \end{aligned}$$