Exercice 1 (22-SPO1U12-P2-EX1)

Soit une fonction $f:]-1,+\infty[\rightarrow \mathbb{R}$ dont on ne connait pas l’expression.

En revanche, on sait que
$$
\left.f^{\prime}(x)>0 \quad \text { pour tout } x \in\right]-1,+\infty[
$$
et que
$$
\lim _{x \rightarrow-1, x>-1} f(x)=2, \quad \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty .
$$
Pour chacune des propositions suivantes, déterminez si elles sont vraies ou fausses, tout en expliquant pourquoi.
$i)$ $f$ est croissante $ii)$ $f$ est injective $iii)$ $f$ est surjective $iv)$ la réciproque de $f$ existe.

$i)$ L’énoncé nous indique que $$D_f=\left]-1,+\infty\right[$$ et $$\forall x \in D_f, \quad f^{\prime}(x)>0.$$ Par conséquent, la fonction $f$ est strictement croissante.

$ii)$ Une fonction strictement monotone (i.e., strictement croissante ou strictement décroissante) sur un intervalle est injective sur cet intervalle. La fonction $f$ étant strictement croissante sur $D_f$, elle est injective sur $D_f$.

$iii)$ Les hypothèses données en énoncé sur $f$, notamment sa croissance. et le fait que $$\lim_{\substack{x \rightarrow-1 \\ x>-1}} f(x)=2 \quad \text{et} \quad \lim_{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$$ cantonnent l’image (ensemble image) $$\left\{f(x): a \in D_f\right\}$$ de $f$ à l’intervalle $] 2,+\infty[$. Par conséquent, si $y \in ]-\infty, 2[$, alors on ne peut pas trouver d’élément $x \in D_f := ]-1,+\infty[$ tel que $y=f(x)$. Or, $$f:]-1, \infty[\rightarrow \mathbb{R}$$ ne peut être surjective, par définition, que si $$\forall y \in \mathbb{R}, \;\,\exists x \in]-1, +\infty[ \quad \text{tel que} \quad y=f(x).$$ Nous concluons que $f$ n’est pas surjective.

$iv)$ La fonction $f$ est injective mais pas surjective. Elle n’est donc pas bijective. La réciproque de $f$ n’existe donc pas.