CH1 – Vecteurs (PMC22-REV-VECTEURS)
Soit
$$\vec{u}=\left(\begin{array}{l}x_u \\ y_u \\ z_u\end{array}\right)$$
un vecteur de l’espace, dont les coordonnées sont exprimées par rapport à une base $\mathcal{B}$.
La norme $\|\vec{u}\|$ de $\ve{u}$ est la quantité
$$\|\vec{u}\|=\sqrt{x_u^2+y_u^2+z_u^2}$$
Gardez toujours en tête que pour tout vecteur $\ve{u}$, on a $$ \ve{u} \cdot \ve{u} = \|\vec{u}\|^2. $$De façon équivalente, on a $$\|\vec{u}\| = \sqrt{ \ve{u} \cdot \ve{u}} $$ où l’on note que $\ve{u} \cdot \ve{u}$ est une quantité toujours supérieure ou égale à zéro, ce qui nous permet de prendre sa racine carrée.
Rappels : Produit scalaire, norme
Gardez aussi à l’esprit que deux vecteurs $\ve{u}, \ve{v}$ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire $\ve{u} \cdot \ve{v}$ est nul.
Au passage, le seul vecteur de norme nulle est le vecteur nul $\vec{0}$.
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ des vecteurs non nuls et soit $\theta$ l’angle entre ces derniers, alors,
$$
\vec{u} \cdot \vec{v}=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\| \cos \theta .
$$
En termes de coordonnées, le produit vectoriel $\ve{u} \wedge \ve{v}$ de deux vecteurs $$\ve{u}=\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)\quad \text{et} \quad \ve{v} = \left(\begin{array}{l}x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{array}\right)$$ dont les coordonnées sont exprimées par rapport à une base orthonormée directe est obtenu par la formule \begin{aligned} \left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right) \wedge \left(\begin{array}{l}x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}y z^{\prime}-z y^{\prime} \\ x^{\prime} z-z^{\prime} x \\ x y^{\prime}-y x^{\prime} \end{array}\right) \end{aligned}
On peut aussi ré-écrire cela en mettant un signe moins bien apparent sur la seconde ligne du produit vectoriel :
\begin{aligned} \left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right) \wedge \left(\begin{array}{l}x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}y z^{\prime}-z y^{\prime} \\ -(z^{\prime} x-x^{\prime} z) \\ x y^{\prime}-y x^{\prime} \end{array}\right) \end{aligned}
Soient $\vec{u},\vec{v}$ et $\vec{w}$ des vecteurs de l’espace.
Le produit mixte de $\vec{u}, \vec{v}$ et $\vec{w}$ est dénoté par $$[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]
=(\vec{u} \wedge \vec{v}) \cdot \vec{w} $$
Il est important de savoir que le triplet $(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ forme une base de l’espace si et seulement si le produit mixte $$[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$$ est non-nul ! Dans ce cas, les trois vecteurs ne sont pas coplanaires, et peuvent donc engendrer l’espace, i.e., former une base de celui-ci.
Comme nous l’avons répété maintes fois en cours, lorsqu’il s’agit de tester la non-coplanarité, l’ordre des vecteurs au sein du produit mixte importe peu.
Si l’on échange deux vecteurs, alors le produit mixte change juste de signe : $$ [\vec{v}, \vec{u}, \vec{w}]=-[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$$ $$ [\vec{w}, \vec{v}, \vec{u}]=-[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] $$ $$ [\vec{u}, \vec{w}, \vec{v}]=-[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] $$
Si l’on applique une permutation circulaire, alors le produit mixte est invariant : $$
[\vec{v}, \vec{w}, \vec{u}]=[\vec{w}, \vec{u}, \vec{v}]=[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}].
$$