CH2 – Fonctions (PMC22-REV-FONCTIONS)
| $f(x)$ | $f^\prime (x)$ |
|---|---|
| $x^a$ | $a x^{a-1}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $\ln(x)$ | $\dfrac{1}{x}$ |
| $\sin(x)$ | $\cos(x)$ |
| $\cos(x)$ | $-\sin(x)$ |
| $\sqrt{x}$ | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $-\dfrac{1}{x^2}$ |
$$(u \circ v)^{\prime}(x)=u^{\prime}(v(x)) v^{\prime}(x)$$
EXEMPLE :
Dans l’exo 2 du partiel de novembre, on devait calculer la dérivée de
$$ f_4(x) =\ln (\sqrt{x}). $$ On pose $$u=\ln (x), \qquad v=\sqrt{x},$$ on a $$u^\prime (x) = \dfrac{1}{x}, \qquad v^\prime (x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}},$$ et l’on obtient par application directe de la formule ci-dessus que $$ \begin{aligned} f_4^{\prime}(x) &= (u \circ v)^{\prime}(x) \\&=u^{\prime}(v(x)) v^{\prime}(x) \\ &= \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} \\ &= \frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{x}} \\ &=\frac{1}{2 x} \end{aligned}$$
Il est important de savoir étudier les variations d’une fonction réelle.
Notons que le partiel de novembre qui portait sur les fonctions, abordait des notions fondamentales telle que :
Injectivité, surjectivité, bijectivité.