Q6 (22-SPO1U58-AUTO-TS1-PB2-Q6)

Enoncé Q6

$$ u(t)=2 u(t-T) $$ avec $u(t)$ un échelon. $$ \begin{aligned} E(p) & =\mathcal{L}[e(t)] \\ & =\mathcal{L}[2 u(t-T)] \\ & =2 \mathcal{L}[u(t-T)] \\ & =2 e^{-Tp} U(p) \end{aligned} $$ $$E(p)=\frac{2 e^{-T p}}{p}$$ $$ \begin{aligned} S(p)&=E(p) G(p)\\ & =E(p)\left[-\frac{1}{(p+1)}+\frac{1}{\left(\frac{1}{2} p+1\right)}\right] \\ & =2\left[\frac{-e^{-T p}}{p(p+1)}+\frac{e^{-T p}}{p\left(\dfrac{p}{2} +1\right)}\right] \end{aligned} $$ On a donc $$ \mathcal{L}^{-1}\left[S(p)\right]=2 e^{-(t-T)}-2 e^{-2(t-T)} $$ Plus simple : On applique directement au résultat du 5) la formule $$ \mathcal{L}^{-1}\left[e^{-T p} F(p)\right] = f(t-T). $$