Q3 (22-SPO1U58-AUTO-TS1-PB1-Q3)

$3)$

On prend une entrée échelon unitaire, $$u(t) = 1.$$

On veut déterminer la réponse du système à cette entrée.

C’est-à-dire, on va déterminer $y(t)$ quand $u(t)=1$.

On commence par travailler dans le domaine fréquentiel et l’on se ramènera au domaine temporel via transformée de Laplace inverse pour obtenir $y(t)$ à partir de
$$H(p)=\dfrac{Y(p)}{U(p)} = \dfrac{1}{1+RCp}$$ qui nous donne
$$ Y(p) = \dfrac{U(p)}{1+RCp}$$

Notons que la transformée de Laplace d’un échelon unitaire $u(t)=1$ est $$U(p) = \dfrac{1}{p}.$$

On a donc

$$ Y(p) = \dfrac{1}{p(1+RCp)}$$

Les concepteurs et conceptrices de cet énoncé, dans leur infinie générosité, nous indiquent que
$$T L\left[1-e^{-\frac{1}{\tau}}\right]=\frac{1}{p(\tau p+1)}.$$
Nous comprenons ainsi que la transformée de Laplace inverse de $Y(p)$ est $$y(t) = 1 – e^{-\frac{t}{RC}}.$$