Q3 (22-SPO1U58-AUTO-TS1-PB2-Q3)

Enoncé Q1

$$ G(p)=\frac{-1}{(p+1)}+\frac{2}{(p+2)} $$
$$ G(p)= \frac{S(p)}{E(p)}=\frac{-1}{(p+1)}+\frac{2}{(p+2)}$$

$$S(p)=E(p) G(p)$$
Si on a une entrée Dirac, on a $$\left\{\begin{array}{l}
e(t)=1 \quad \text { pour }\quad t=0 \\
e(t)=0\quad \text { pour }\quad t>0.
\end{array}\right. $$
La transformée de Laplace d’une entrée Dirac est
$$E(p)=1.$$
Par conséquent $$ S(p)=G(p)$$ et ainsi
$$
S(p)=\frac{-1}{p+1}+\frac{2}{p+2}
$$ On utilise la transformée de Laplace inverse :
$$
\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{p+a}\right]=e^{-a t}
$$
$$
\begin{aligned}
s(t) & =\mathcal{L}^{-1}[s(p)] \\
& =2 e^{-2 t}-e^{-t} \\
& =e^{-t}\left(2 e^{-t}-1\right)
\end{aligned}
$$