Q2 (22-SPO1U58-AUTO-TS1-PB2-Q2)

Enoncé Q2

Nous avons obtenu l’expression $$G(p)=\frac{p}{(p+1)(p+2)}$$ à la question précédente. On cherche $A$ et $B$ des réels tels que $$ G(p)=\frac{A}{(p+1)}+\frac{B}{(p+2)} $$ On écrit $$ \begin{aligned} G(p) &= \frac{A}{(p+1)}+\frac{B}{(p+2)} \\ &=\frac{A(p+2)+B(p+1)}{(p+1)(p+2)} \\ & =\frac{A p+2 A+B p+B}{(p+1)(p+2)} \\ & =\frac{(A+B) p+2 A+B}{(p+1)(p+2)} \end{aligned} $$ et ainsi $$ \frac{p}{(p+1)(p+2)}=\frac{(A+B) p+2 A+B}{(p+1)(p+2)} $$ Cela nous donne $$ \left\{\begin{array} { l } { A + B = 1 } \\ { 2 A + B = 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \frac{-B}{2}+B=1 \\ A=\frac{-B}{2} \end{array}\right.\right. $$ Par conséquent, $$ \left\{\begin{array}{l} B=2 \\ A=-1 \end{array}\right. $$ On a effectivement $$\begin{aligned}\frac{-1}{(p+1)}+\frac{2}{(p+2)} & =\frac{-p-2+2 p+2}{(p+1)(p+2)} \\& =\frac{p}{(p+1)(p+2)}\end{aligned}$$