Q2 (21-SPO1U59-MECA-TS1-Q2)
Déterminer les composantes $\left(v_x, v_z\right)$ et $(x, z)$ des vecteurs vitesse $\vec{v}$ et position $\vec{r}$.
Nous avons précédemment obtenu
$$
\left\{\begin{array}{l}
a_{x}=0 \\
a_{z}=g
\end{array}\right.
$$
Par définition, on a
$$
\left\{\begin{array}{l}
a_{x}(t)=\frac{d v_{x}(t)}{dt} \\
a_{z}(t)=\frac{d v_{z}(t)}{dt}
\end{array}\right.
$$
Commençons par déterminer $v_x (t)$ :
$$
v_x(t)=\int a_x(t) d t
$$
Toute constante étant une primitive de la fonction nulle, on a
$$
v_x(t)=C_1
$$
pour $C_1\in \mathbb{R}$. Afin de déterminer $C_1$, on utilise le fait que
$$
v_x(0)=v_0 \cos (\alpha)
$$
et l’on déduit que $$v_x(t) := v_x = v_0 \cos (\alpha).$$
Procédons de façon analogue pour détermine $v_z (t)$ :
On a
$$
v_z(t)=\int a_z(t) dt = \int g \, dt = gt + C_2
$$ pour une constante réelle $C_2$ que l’on détermine à l’aide de la condition intiale $$v_z (0) =0 + C_2 = v_0 \sin(\alpha).$$
$$v_z(t)=g t+v_0 \sin(\alpha)$$
En ce qui concerne les composantes $x(t)$ et $z(t)$ du vecteur position
$$
\vec{r}(t)=\left(\begin{array}{l}
x(t) \\
z(t)
\end{array}\right)
$$
on a
$$
x(t)=\int v_x(t) d x
$$
et $$
z(t)=\int v_z(t) d t
$$
Ainsi,
$$
x(t)=v_0 \cos (\alpha) t+C_3
$$
et
$$
z(t)=\frac{1}{2} g t^2+v_0 \sin (\alpha) t+C_4
$$
On détermine $C_3$ et $C_4$ via les conditions intiales.
La condition $x(0) = 0$ donne $C_3=0$ de telle sorte que
$$
x(t)=v_0 \cos (\alpha) t.
$$
La condition $z(0)=0$ nous donne $C_4=0$ et l’on obtient
$$z(t)=\frac{1}{2} g t^2+v_0 \sin (\alpha) t.$$