Exercice 4 (20-SPO1U12-RT-EX4)

$(i)$ Trouvez une primitive sur l’intervalle $] 0,+\infty[$ pour chacune des deux fonctions suivantes : $$f(x)=\frac{1}{x^2}, \quad g(x)=2 \cos \left(\frac{x}{2}\right)$$
$(ii)$ En utilisant la formule d’intégration par parties, calculez une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $$h(x)=x\sin(2 x).$$
$(iii)$ Calculez les intégrales suivantes : $$\int_1^e \frac{1}{x^2} d x, \qquad \int_0^\pi 2 \cos \left(\frac{x}{2}\right) dx.$$

$(i)$ $f(x)=\frac{1}{x^{2}}$

Une primitive $F$ de $f$ sur $\left] 0,+\infty\right[$ est

$$F(x)=-\frac{1}{x}+C$$

avce C constante réelle.

Passons au calcul d’une primitive de la fonction

$$g(x)=2 \cos \left(\frac{x}{2}\right).$$

$$ \begin{aligned}\int g(x) d x &=\int 2 \cos \left(\frac{x}{2}\right) dx \\ & =2 \int \cos \left(\frac{x}{2}\right) d x \end{aligned} $$
On pose
$$ u=\frac{x}{2} $$
$$\frac{d u}{d x}=\frac{1}{2}, \qquad du=\frac{dx}{2} $$
$$ \begin{aligned} 2 \int \cos \left(\frac{x}{2}\right) d x&=4 \int \cos \left(\frac{x}{2}\right) \frac{1}{2} d x \\
& =4 \int \cos (u) d u \\
& =4 \sin (u)+C \\
& =4 \sin \left(\frac{x}{2}\right)+C
\end{aligned}$$

$(ii)$ Intégration par parties (IPP) :

$$ \int u(x) v^{\prime}(x) d x=u(x) v(x)-\int u^{\prime}(x) v(x) d x $$

$$h(x)=x \sin (2 x) $$

$$\begin{aligned}
& \left\{\begin{array}{l}
u(x)=x \\
v^{\prime}(x)=\sin (2 x)
\end{array}\right.
& \left\{\begin{array}{l}
u^{\prime}(x)=1 \\
v(x)=-\frac{1}{2} \cos (2 x)
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
\int x \sin (2 x) d x & =-\frac{x \cos (2 x)}{2}+C_1+\frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x \\
& =-\frac{1}{2} x \cos (2 x)+\frac{1}{4} \sin (2 x)+C_2
\end{aligned}
$$

$(iii)$

$$\begin{aligned} \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x &=\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{e} \\
& =-\frac{1}{e}-\left(\frac{-1}{1}\right) \\
& =1-e^{-1}
\end{aligned} $$

où $$e^{-1}=\frac{1}{e}$$

$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{\pi} 2 \cos \left(\frac{x}{2}\right) d x & =\left[4 \sin \left(\frac{x}{2}\right)\right]_{0}^{\pi} \\
& =4 \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)-4 \sin (0) \\
& =4
\end{aligned}
$$