Exercice 2 (20-SPO1U12-RT-EX2)

Soit $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ une base orthonormée directe de l’espace, et trois vecteurs de l’espace donnés par leurs coordonnées dans cette base : $\vec{u}:(0,1,1), \vec{v}:(1,0,1)$ et $\vec{w}:(1,1,0)$.
$(i)$ Calculez les normes des vecteurs $\vec{u}, \vec{v}$ et $\vec{w}$, ainsi que le produit vectoriel $\vec{u} \wedge \vec{v}$.
$(ii)$ Est-ce que parmi les trois vecteurs $\vec{u}, \vec{v}$ et $\vec{w}$, il y a deux qui soient orthogonaux? Si oui, dites lesquels.
$(iii)$ Est-ce que parmi les trois vecteurs $\vec{u}, \vec{v}$ et $\vec{w}$, il y a deux qui soient colinéaires? Si oui, dites lesquels.
$(iv)$ Est-ce que les vecteurs $\vec{u}, \vec{v}$ et $\vec{w}$ forment une base de l’espace? Si oui, cette base est-elle orthonormée?

$$ \vec{u} =\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \quad \vec{v}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), \quad \vec{w} = \left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right). $$

$(i)$ $$ \| \vec{u} \| = \| \vec{v } \| = \| \vec{w} \|=\sqrt{1^{2}+1^{2}} =\sqrt{2}$$ $$ \begin{aligned} \vec{u} \wedge \vec{v} & =\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \wedge\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \\ & =\left(\begin{array}{c} 1.1-0.1 \\ -\left[0.1-1.1\right] \\ 0.0-1.1 \end{array}\right) \\ & =\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right) \end{aligned} $$

$(ii)$ On calcule les produits scalaires $\vec{u} \cdot \vec{v}, \vec{u} \cdot \vec{w}$ et $\vec{v} \cdot \vec{w}$ : $$ \begin{aligned} \vec{u} \cdot \vec{v}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) & =0.1+1 \cdot 0+1 \cdot 1 \\ & =1 \neq 0 \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} \vec{u} \cdot \vec{w} =\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) &=0.1+1.1+1.0 =1 \neq 0 \end{aligned} $$ $$\begin{aligned} \vec{v} \cdot \vec{w} =\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) =1 \cdot 1+0.1+1.0 &=1 \neq 0 \end{aligned} $$ Parmi les 3 vecteurs $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$, on ne peut pas en trouver deux qui soient orthogonaux.

$(iii)$ Il est bon de savoir que deux vecteurs $\vec{a}$ et $\vec{b}$ de l’espace sont colinéaires si et seulement si $\vec{a} \wedge \vec{b}=\overrightarrow{0}$. On a déjà établi que $$\vec{u} \wedge \vec{v} \neq \overrightarrow{0}$$ à la question $(i)$. $$ \begin{aligned} \vec{u} \wedge \vec{w}&=\left(\begin{array}{l}0 \\1 \\1\end{array}\right) \wedge\left(\begin{array}{l}1 \\1 \\0\end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{c}1.0-1.1 \\-[0.0-1.1] \\0.1-1.1\end{array}\right) \\ & =\left(\begin{array}{r}-1 \\1 \\-1\end{array}\right) \neq \overrightarrow{0} \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} \vec{v} \wedge \vec{w} & =\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \wedge\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) \\ & =\left(\begin{array}{c} 0.0-1.1 \\ -\left[\begin{array}{l} 1.0-1.1 \end{array}\right] \\ 1.1-1.0 \end{array}\right) \\ & =\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \end{aligned} $$

(iv) $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ forment une base de l’espace si et seulement si ils sont pas coplanaires. C’est-à-dire, si et seulement si : $$ [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]=(\vec{u} \wedge \vec{v}) \cdot \vec{w} \neq 0 $$

Le produit vectoriel $\vec{u} \wedge \bar{v}$ a déjà été calculé à la question $(i)$.

$$ \begin{aligned} {[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] } & =(\vec{u} \wedge \vec{v}) \cdot \vec{w} \\ & =\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) \\ & =1.1+1.1+(-1) \cdot 0 \\ & =2 \end{aligned} $$ Le produit mixte tout juste calculé étant non-nul, les vecteurs $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ ne sont pas coplanaires et forment donc une base de l’espace. Notons que $$\|\vec{u}\|=\|\vec{v}\|=\|\vec{w}\|=\sqrt{2} \neq 1.$$ La base $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ n’est donc pas normée. Elle ne peut donc pas être orthonormée.