Exercice 1 (20-SPO1U12-RT-EX1)

Soit $x, y \in \mathbb{R},(\vec{i}, \vec{j})$ une base orthonormée du plan, et les vecteurs
$$
\vec{u}=(x+y) \vec{i}+(2 x+1) \vec{j}, \quad \vec{v}=(x+y+1) \vec{i}+(2 x+y) \vec{j} .
$$

$(i)$ Soit $x=y=1$. Calculez les normes des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$. Est-ce que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ forment une base du plan?

$(ii)$ Soit $x$ et $y$ de telle sorte que $\vec{u}=\overrightarrow{0}$. Calculez $\vec{v}$.

$(iii)$ Est-ce qu’il existe des valeurs $x, y \in \mathbb{R}$ telles que $\vec{u}=\vec{v}$ ? Si oui, trouvez-les.

$(iv)$ Est-ce qu’il existe des valeurs $x, y \in \mathbb{R}$ telles que $\vec{u}+\vec{v}=\overrightarrow{0}$ ? Si oui, trouvez-les.

$(i)$ On pose $$x=y=1$$ de telle sorte que $$\begin{aligned} \vec{u}=\left(\begin{array}{l}2 \\3\end{array}\right) ,\quad \vec{v}=\left(\begin{array}{l}3 \\3\end{array}\right) \end{aligned}$$

Calculons les normes de $\ve{u}$ et $\ve{v}$ :
$$\|\vec{u}\|=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13} $$

$$\|\vec{v}\|=\sqrt{3^{2}+3^{2}}=\sqrt{18} =2 \sqrt{3}$$

$$
\begin{aligned}
\operatorname{det}(\bar{u}, \vec{v}) & =\left|\begin{array}{ll}
2 & 3 \\
3 & 3
\end{array}\right|
=2 \cdot 3-3.3 \\ &=6-9 \\
& =-3 \neq 0
\end{aligned}
$$

$(ii)$ Soient $x$ et $y$ tels que $\vec{u}=\overrightarrow{0}$. On a alors

$$
\begin{aligned}
\left\{\begin{array}{l}
x+y=0 \\
2 x+1=0
\end{array}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
y=-x \\
x=-\frac{1}{2}
\end{array}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
y=\frac{1}{2} \\
x=-\frac{1}{2}
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$

Avec $$x=-\dfrac{1}{2} \quad \text{et} \quad y=\dfrac{1}{2},$$on $a$

$$
\vec{v}=\left(\begin{array}{l}
-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+1 \\
2 \cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
1 \\
-\frac{1}{2}
\end{array}\right)
$$

$(iii)$ $$
\begin{aligned}
& \vec{u}=\left(\begin{array}{c}x+y \\2 x+1\end{array}\right) \quad \vec{v}=\left(\begin{array}{c}x+y+1 \\2 x+y\end{array}\right) \\
& \vec{u}=\vec{v} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x+y=x+y+1 \\2 x+1=2 x+y\end{array}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}0=1 \\2 x+1=2 x+y\end{array}\right.
\end{aligned}
$$

Le non-sens $0=1$ ainsi obtenu permet d’affirmer qu’il ne peut donc pas exister de réels $x, y$ tels que $\vec{u}=\vec{v}$.

$(iv)$

$$\vec{u}=\left(\begin{array}{l}
x+y \\
2 x+1
\end{array}\right) \quad \vec{v}=\left(\begin{array}{c}
x+y+1 \\
2 x+y
\end{array}\right) $$
$$
\begin{aligned}
\vec{u}+\vec{v}=\overrightarrow{0} &\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
2 x+2 y+1=0 \\
4 x+y+1=0
\end{array}\right. \\
&\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
x+y=-\frac{1}{2} \\
4 x+y=-1
\end{array}\right. \\
&\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
x=-\frac{1}{2}-y \\
4 x+y=-1
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$
Exprimons $x$ en fonction de $y$ :
$$
\begin{aligned}
& \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
x=-\frac{1}{2}-y \\
4\left(-\frac{1}{2}-y\right)+y=-1
\end{array}\right. \\
& \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
x=-\frac{1}{2}-y \\
-2-4 y+y=-1
\end{array}\right. \\
& \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
x=-\frac{1}{2}-y \\
-3 y=1
\end{array}\right. \\
& \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}
x=-\frac{1}{2}-y \\
y=-\frac{1}{3}
\end{array}\right. \\
& \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{3} \\
y=\frac{-1}{3}
\end{array}\right.\\
& \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
x=\frac{-3}{6}+\frac{2}{6} \\
y=-\frac{1}{3}
\end{array}\right. \\
& \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
x=-\frac{1}{6} \\
y=-\frac{1}{3}
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$