Q4 (21-SPO1U13-TS2-EX1-Q4-REV)

Donner une valeur approchée de $$f(x,y)=y\exp(xy)$$ au voisinage d’un point $\left(x_0, y_0\right)$ de son ensemble de définition.

Rappelons à nouveau la définition d’une fonction différentiable en un point :

On dit que $f$ est différentiable en $\left(x_0, y_0\right)$ s’il existe des constantes réelles $A$ et $B$ telles que $$f\left(x_0+h, y_0+k\right)-f\left(x_0, y_0\right)=A h+B k+\|(h, k)\| \varepsilon(h, k)$$ avec $$\lim _{(h, k) \rightarrow(0,0)} \varepsilon(h, k)=0.$$ Dans ce cas, on a $$A=\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_0, y_0\right) \qquad \text{et} \qquad B=\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_0, y_0\right).$$ Plus généralement, on utilise la notation $$\mathrm{d} f=\frac{\partial f}{\partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial f}{\partial y} \mathrm{~d} y$$ pour dénoter la différentielle de la fonction $f$.

Soit $(x_0,y_0) \in \mathcal{D}_f$ et considérons un point $(x_0+h, y_0+k)$ appartenant à une boule ouverte de rayon $\epsilon$ très petit et centrée en $(x_0,y_0)$. On a donc $\|(h, k)\| < \epsilon$, i.e., le point $(x_0+h, y_0+k)$ est ainsi par définition dans un voisinage de $(x_0,y_0)$.

Une valeur approchée de $f$ en $(x_0+h, y_0+k)$ est donnée par la formule dans le rappel ci-dessus : $$f\left(x_0+h, y_0+k\right)-f\left(x_0, y_0\right)=\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_0, y_0\right) h+\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_0, y_0\right) k+\|(h, k)\| \varepsilon(h, k)$$ avec $$\lim _{(h, k) \rightarrow(0,0)} \varepsilon(h, k)=0.$$ Comme l’on peut considérer que $h$ et $k$ sont très petits, car $(x_0+h, y_0+k)$ est par hypothèse un point dans un voisinage de $(x_0,y_0)$, on a $$f\left(x_0+h, y_0+k\right) \approx f\left(x_0, y_0\right) + \frac{\partial f}{\partial x}\left(x_0, y_0\right) h+\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_0, y_0\right) k$$