Q4 (20-SPO1U13-TS2-EX1-Q3-REV)
Donner une valeur approchée de $f(0.55, 0.20)$ en fonction de $e$.
Tout d’abord, un rappel :
On dit que $f$ est différentiable en $\left(x_0, y_0\right)$ s’il existe des constantes réelles $A$ et $B$ telles que $$f\left(x_0+h, y_0+k\right)-f\left(x_0, y_0\right)=A h+B k+\|(h, k)\| \varepsilon(h, k)$$ avec $$\lim _{(h, k) \rightarrow(0,0)} \varepsilon(h, k)=0.$$ Dans ce cas, on a $$A=\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_0, y_0\right) \qquad \text{et} \qquad B=\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_0, y_0\right).$$ Plus généralement, on utilise la notation $$\mathrm{d} f=\frac{\partial f}{\partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial f}{\partial y} \mathrm{~d} y$$ pour dénoter la différentielle de la fonction $f$.
Nous pouvons donc approximer la valeur prise par $f$ en un point $\left(x_0+h, y_0+k\right)$ au voisinage d’un point $\left(x_0, y_0\right)$ via la connaissance de la différentielle de $f(x_0,y_0)$ et des valeurs prises par les dérivées partielles de $f$ en $(x_0,y_0)$. Une valeur approchée de $f$ en $(x_0+h, y_0+k)$ est donnée par la formule dans le rappel ci-dessus : $$f\left(x_0+h, y_0+k\right)=f\left(x_0, y_0\right) + \frac{\partial f}{\partial x}\left(x_0, y_0\right) h+\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_0, y_0\right) k+\|(h, k)\| \varepsilon(h, k)$$ avec $$\lim _{(h, k) \rightarrow(0,0)} \varepsilon(h, k)=0.$$ On a donc $$f\left(x_0+h, y_0+k\right) \approx f\left(x_0, y_0\right) + \frac{\partial f}{\partial x}\left(x_0, y_0\right) h+\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_0, y_0\right) k$$
Nous pouvons écrire $(x_0,y_0) = (\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4})$.
$$\begin{aligned} (x_0,y_0) &= (0.5,0.25) \\ &= (\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4}) \end{aligned}$$
et $$\begin{aligned} (x_0+h,y_0+h) &= (0.55,0.25) \\ &= (\dfrac{55}{100},\dfrac{25}{100}) \end{aligned}$$ et ainsi $$\begin{aligned}(h,k) &= (0.05,-0.05) \\ &= (\dfrac{5}{100},-\dfrac{5}{100}) \end{aligned}$$.
On a donc $$\begin{aligned} f(\dfrac{55}{100},\dfrac{20}{100})&=f\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right)+e\left(\frac{1}{2} \cdot\frac{5}{100}-\frac{5}{100}\right) \\ &= f\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right)+\frac{5e}{100}\left(\frac{1}{2}-1\right) \\&=f\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right)-\frac{5e}{200} \end{aligned} $$
On a $$ \begin{aligned} f\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right) & =2 \cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{2} \exp \left(4 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\right) \\
& =\frac{2}{16} \exp (1) \\
& =\frac{e}{8}
\end{aligned}
$$
Ainsi $$\begin{aligned} f(\dfrac{55}{100},\dfrac{20}{100})&\approx \dfrac{e}{8} -\frac{5e}{200} \\ &= e(\dfrac{1}{8} – \dfrac{5}{200}) \\&= e(\dfrac{25}{200} – \dfrac{5}{200}) \\ &= \dfrac{20e}{200} \\ &= \dfrac{e}{10}.\end{aligned}$$