Q3 (21-SPO1U13-TS2-EX1-Q3-REV)
Calculer la différentielle $$f(x,y) = y\exp (xy)$$ en un point $(x_0,y_0)$ de son ensemble de définition.
On dit que $f$ est différentiable en $\left(x_0, y_0\right)$ s’il existe des constantes réelles $A$ et $B$ telles que $$f\left(x_0+h, y_0+k\right)-f\left(x_0, y_0\right)=A h+B k+\|(h, k)\| \varepsilon(h, k)$$ avec $$\lim _{(h, k) \rightarrow(0,0)} \varepsilon(h, k)=0.$$ Dans ce cas, on a $$A=\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_0, y_0\right) \qquad \text{et} \qquad B=\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_0, y_0\right).$$ Plus généralement, on utilise la notation $$\mathrm{d} f=\frac{\partial f}{\partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial f}{\partial y} \mathrm{~d} y$$ pour dénoter la différentielle de la fonction $f$.
Dénotons par $\mathrm{d} f$ la différentielle de $f$ et considérons un point $(x_0,y_0) \in \mathcal{D}_f$. On a $$\mathrm{d} f(x_0,y_0)=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) \mathrm{~d} x+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \mathrm{~d} y.$$ On a vu à la question précédente que $$ \frac{\partial f(x, y)}{\partial x}=y^{2} \exp (x y) $$ $$ \frac{\partial f(x, y)}{\partial y}=\exp (x y)+x y \exp (x y). $$ Par conséquent,
$$\begin{aligned} df(x_0,y_0) &= \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) \mathrm{~d} x+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \mathrm{~d} y \\&= y_{0}^{2} \exp \left(x_{0} y_{0}\right) \mathrm{~d} x +\left[\exp \left(x_{0} y_{0}\right)+x_{0} y_{0} \exp \left(x_{0} y_{0}\right)\right]\mathrm{~d} y .\end{aligned}$$