Q3 (20-SPO1U13-TS2-EX1-Q3-REV)
Donner l’expression de la différentielle de $f$ en $(x,y)$ puis en $(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4})$.
$$d f(x, y)=\frac{\partial f(x, y)}{\partial x} d x+\frac{\partial f(x, y)}{\partial y} d y $$
En utilisant les expressions $$\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}=16 x y^{2} \exp \left(4 x^{2}\right) \quad \text{et} \quad
\frac{\partial f(x, y)}{\partial y}=4 y \exp \left(4 x^{2}\right)
$$ obtenues à la question précédente, on peut commencer par exprimer la différentielle $df$ de $f$ en un point $(x,y)$ quelconque de $\mathbb{R}^2$ :
$$
d f(x,y) =16 x y^{2} \exp(4 x^{2}) d x+4 y \exp(4 x^{2}) d y.
$$ Nous pouvons ensuite exprimer la différentielle de $f$ en le point $(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4})$ :
\begin{aligned} d f\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right) &=
16 \cdot \frac{1}{2} \cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{2} \exp(4 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}) \; d x +4 \cdot \frac{1}{4} \exp({4 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}) \;d y \\
& =\frac{1}{2} \exp(1) d x+\exp(1) d y \\
&= e(\dfrac{dx}{2}+dy)
\end{aligned}
où l’on écrit $$e := \exp(1).$$