Q2 (20-SPO1U13-TS2-EX1-Q2-REV)

Etudier la différentiabilité de $$f : (x, y) \longmapsto 2 y^2 \exp \left(4 x^2\right).$$

Nous allons invoquer le théorème ci-dessous, notez que ce dernier est puissant :

Théorème : Soit $\mathbf{f} : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^m$. Si toutes les dérivées partielles en un point $\mathbf{a} \in \mathbb{R}^n$ de la matrice des dérivées partielles $$D \mathbf{f}(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{cccc}
\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(\mathbf{x}) & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(\mathbf{x}) & \ldots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(\mathbf{x}) \\
\frac{\partial f_2}{\partial x_1}(\mathbf{x}) & \frac{\partial f_2}{\partial x_2}(\mathbf{x}) & \ldots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n}(\mathbf{x}) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial f_m}{\partial x_1}(\mathbf{x}) & \frac{\partial f_m}{\partial x_2}(\mathbf{x}) & \ldots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}(\mathbf{x})
\end{array}\right]$$

de $\mathbf{f}$ existent et sont continues dans un voisinage de $\mathbf{a}$, alors la fonction $\mathbf{f}(x)$ est différentiable en $\mathbf{x} = \mathbf{a}$. Dans le cas de la fonction que nous étudions, on a $n=2$ et $m=1$. Ce théorème nous permettra donc d’affirmer que $f$ est différentiable sur $\mathbb{R}^2$ tout entier si nous parvenons à établir que $\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}$ et $\frac{\partial f(x, y)}{\partial y}$ sont continues sur $\mathbb{R}^2$.

Notons également que toutes les fonctions de plusieurs variables obtenues comme somme, produit ou composée de fonctions continues sont continues. Notez que les fonctions polynomiales de plusieurs variables sont continues sur $\mathbb{R}^n$. De même, toutes les fonctions de plusieurs variables résultant de la composition ou de la combinaison de fonctions à une seule variable continues sont continues : Fractions rationnelles, racine, exponentielle, logarithme, fonctions circulaires, hyperboliques et leurs réciproques…

Pour obtenir les dérivées partielles $$\dfrac{\partial f(x, y)}{\partial x} \qquad \text{et} \qquad \dfrac{\partial f(x, y)}{\partial y}$$ de $f(x,y)$, on procède de la façon suivante :

• $\dfrac{\partial f(x, y)}{\partial x}$ s’obtient en considérant la fonction $f$ comme une fonction de la seule variable $x$. C’est-à-dire que $y$ est vu comme une constante qui ne varie pas. On dérive alors par rapport à $x$ en utilisant les techniques présentes dans le second chapitre de l’UE de maths $1$ du S1.
• $\dfrac{\partial f(x, y)}{\partial y}$ s’obtient en considérant la fonction $f$ comme une fonction de la seule variable $y$. C’est-à-dire que $x$ est vu comme une constante qui ne varie pas. On dérive alors par rapport à $x$ en utilisant les techniques présentes dans le second chapitre de l’UE de maths $1$ du S1.

On a $$\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}=16 x y^{2} \exp \left(4 x^{2}\right)$$ et $$\frac{\partial f(x, y)}{\partial y}=4 y \exp \left(4 x^{2}\right).$$

Ces deux dérivées partielles sont bien sûr continues sur $\mathbb{R}^2$ tout entier en tant que fonctions de plusieurs variables résultant du produit et de la composition de fonctions continues à une seule variable.

La fonction $$f : (x, y) \longmapsto 2 y^2 \exp \left(4 x^2\right)$$ est donc différentiable sur $\mathbb{R}^2$.