Q1 (21-SPO1U13-TS2-EX1-Q1-REV)
On considère la fonction $$f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$$ $$ f: (x, y) \mapsto y \exp (x y)$$ et l’on admet que cette fonction est différentiable sur son ensemble de définition.
Déterminer l’ensemble de définition de $f$.
Le domaine de définition d’une fonction $f(x, y)$ est l’ensemble $$ \mathcal{D}_f = \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2: f(x,y) \in \mathbb{R} \right\} $$ i.e., l’ensemble des couples $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ tels que $f$ fasse sens en tant que fonction.
Ici la fonction étudiée est clairement définie sur $\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$, notez que les fonctions partielles $$x \longmapsto y \exp(xy)$$ et $$y \longmapsto y \exp(xy)$$ sont chacune définies sur $\mathbb{R}$. Par fonctions partielles, on entend que l’on considère une des deux variables fixées, et l’on considère la fonction étudiée comme une fonction d’une seule variable réelle.
C’est un exemple sans grand intérêt. Considérons $$h(x, y)=(\ln x)(\ln y).$$
Alors, $h$ fait sens si et seulement si on a $$x > 0 \qquad \text{et} \qquad y>0$$ car la fonction
$$ X \longmapsto \ln(X)$$ est définie sur $$\mathbb{R}_{+}^{\ast} = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid x >0 \right\}.$$
On a donc $$\mathcal{D}_h = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x>0, \; y>0 \right\}.$$
Prenons par exemple $$ g(x, y)=\sqrt{1-x^2-y^2}.$$ La fonction $g$ fait sens si et seulement si $$1-x^2-y^2 \geq 0$$ car la fonction $$ X \longmapsto \sqrt{X}$$ est définie sur $$\mathbb{R}_{+} = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid x\geq 0 \right\}.$$
On a donc $$\mathcal{D}_g = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \leq 1\right\}.$$