Q9 (21-SPO1U58-AUTO-TS1-Q9)

Décomposer $G(p)$ en éléments simples.

Déterminons des entiers $a$ et $b$ tels que

$$ \dfrac{p+2}{(1+3 p)(1+2 p)}=\dfrac{a}{1+3 p}+\dfrac{b}{1+2 p}$$

On a \begin{align} \dfrac{a}{1+3 p}+\frac{b}{1+2 p} &= \dfrac{a(1+2 p)+b(1+3 p)}{(1+3 p)(1+2 p)}\\ &= \dfrac{a+2 a p+b+3 b p}{(1+3 p)(1+2 p)} \\ &= \dfrac{(a+b)+(2 a+3 b) p}{(1+3 p)(1+2 p)}\end{align}

On a donc $$ \dfrac{p+2}{(1+3 p)(1+2 p)}= \dfrac{(a+b)+(2 a+3 b) p}{(1+3 p)(1+2 p)}$$

Nous devons ainsi résoudre le système

$$ \begin{aligned}
&a+b=2 \\
&2 a+3 b=1\end{aligned}$$

En utilisant l’expression $a=2-b$ dans $2a+3b=1$, on a $$ 4 – 2b + 3b = 1$$i.e., $$b=-3.$$

L’expression $$a+b = 2$$ nous donne alors immédiatement $$ a= 5.$$

Par conséquent, on a

$$ G(p)=\dfrac{5}{1+3 p}-\dfrac{3}{1+2 p}.$$