Q3 (21-SPO1U58-AUTO-TS1-Q3)
Utiliser la transformée de Laplace sur cette équation, en supposant que les conditions initiales sont nulles.
Linéarité :
$$\mathcal{L}[\mathrm{a} \times \mathrm{f}(\mathrm{t})+\mathrm{b} \times \mathrm{g}(\mathrm{t})]=\mathrm{a} \times \mathfrak{L}[\mathrm{f}(\mathrm{t})]+\mathrm{b} \times \mathfrak{L}[\mathrm{g}(\mathrm{t})]$$ où a et $\mathrm{b}$ sont des constantes réelles.
$$
\mathscr{L}\left[f^{\prime}(t)\right]=p \times \mathscr{L}[f(t)]-f\left(0^{+}\right) .
$$
Lorsque toutes les conditions initiales sont nulles (conditions de
Heaviside ) :$$\mathcal{L}\left[\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{n}} \mathrm{f}(\mathrm{t})}{\mathrm{dt}^{\mathrm{n}}}\right]=\mathrm{p}^{\mathrm{n}} \times \mathfrak{L}[\mathrm{f}(\mathrm{t})].$$
Intégration : $\;$ Si $g(t)=\int f(t) dt \quad \text{et} \quad F(p)=\mathscr{L}[f(t)]$, alors $$\mathscr{L}[g(t)]=\frac{F(p)}{p}+\frac{g\left(0^{+}\right)}{p}$$
Théorème de la valeur finale :$$\lim _{t \rightarrow+\infty} f(t)=\lim _{p \rightarrow 0}[p \times F(p)]$$
(valable uniquement si la fonction $f(t)$ est bornée).Théorème du retard :
$$\mathscr{L}[\mathrm{f}(\mathrm{t}-\tau)]=\mathrm{e}^{-\tau \mathrm{p}} \times \mathrm{F}(\mathrm{p}) $$
Translation dans le plan complexe :$$ \mathscr{L}\left[\mathrm{e}^{-\mathrm{at}} \times \mathrm{f}(\mathrm{t})\right]=\mathrm{F}(\mathrm{p}+\mathrm{a}) $$
Le transformée de Laplace d’un produit n’est pas le produit des transformées de Laplace !$$\mathscr{L}[\mathrm{f}(\mathrm{t}) \times \mathrm{g}(\mathrm{t})] \neq \mathrm{F}(\mathrm{p}) \times \mathrm{G}(\mathrm{p}) \quad \text { et } \quad \mathcal{L}^{-1}[\mathrm{~F}(\mathrm{p}) \times \mathrm{G}(\mathrm{p})] \neq \mathrm{f}(\mathrm{t}) \times \mathrm{g}(\mathrm{t}) $$
Partons de l’équation
$$ e(t) = RC \dfrac{dy(t)}{dt} + y(t)$$
obtenue à la question précédente et passons celle-ci dans le domaine de Laplace en faisant usage de la transformée de Laplace. On a
$$ \mathcal{L}\left [e(t) \right] = RC \; \mathcal{L} \left[ \dfrac{dy(t)}{dt} \right] + \mathcal{L}\left[ y(t) \right].$$
Nous écrirons, en suivant la convention classique :
$$\mathcal{L}\left[e(t) \right] = E(p)$$ ainsi que
$$Y(p) = \mathcal{L}\left[ y(t) \right]$$
Comme indiqué ci-dessus, on a $$\mathcal{L} \left[ \dfrac{dy(t)}{dt} \right] = p\mathcal{L} \left[ y(t) \right]$$
Il vient ainsi $$\begin{align} E(p) &= RCpY(p) + Y(p) \\ &= (1+RCp)Y(p) \end{align}$$