Q10 (21-SPO1U58-AUTO-TS1-Q10)

Calculer la limite pour $t \rightarrow \infty$ et $t \rightarrow 0$ de $g(t)$, en utilisant le théorème de la valeur finale et de la valeur initiale.

On donne les transformées de Laplace suivantes :
$$
\mathcal{L}\left[e^{-a t}\right]=\dfrac{1}{p+a}, \quad \mathcal{L}\left[1-e^{-\dfrac{t}{\tau}}\right]=\dfrac{1}{p(\tau p+1)}
$$

Nous avons obtenu à la question précédente que $$ G(p)=\dfrac{5}{1+3 p}-\dfrac{3}{1+2 p}.$$

Notez que nous avons $$ G(p)=\dfrac{5}{3(\dfrac{1}{3}+ p)}-\dfrac{3}{2(\dfrac{1}{2}+ p)}.$$

En utilisant la transformée de Laplace inverse, on obtient le signal temporel

$$g(t) = \dfrac{5}{3} e^{-\dfrac{t}{3}} + \dfrac{3}{2} e^{-\dfrac{t}{2}}$$

Notez que l’on vous demande de calculer les limites de $g(t)$ via les théorèmes de la valeur initiale / finale, que l’on applique généralement lorsqu’il est difficile de calculer explicitement la transformation de Laplace inverse d’une expression du domaine fréquentiel… Pourquoi ne vous-fait on pas tout simplement calculer les limites en utilisant l’expression de $g(t)$ ? Le but est de vérifier que vous avez percuté que la limite de $g(t)$, dans le domaine temporel, est calculable via une limite de sa transformée de Laplace, dans le domaine fréquentiel. Parfois, l’expression de $G(p)$ sera ne sera pas proprice à un calcul facile de $g(t)$ via la transformation de Laplace inverse ! On vous demandera cependant de quand même de calculer les limites de $g(t)$, sans pouvoir disposer d’une expression explicite de cette dernière ! C’est là qu’est tout l’intérêt de ces deux théorèmes :

Les limites de $g(t)$ sont calculables via les limites de $G(p)$.

Petit rappel :

Gardez en tête que $$t \rightarrow 0 \quad \text{correspond à} \quad p \rightarrow \infty \quad \textit{(régime transitoire)}$$

$$\mathrm{t} \rightarrow \infty \quad \text{correspond à} \quad p \rightarrow 0 \quad \textit{(régime permanent)} $$

Théorème de la valeur initiale :
$$\lim_{t \rightarrow 0} f(t) =f\left(0^{+}\right) =\lim_{p \rightarrow \infty} pF(p)$$

Théorème de la valeur finale :
$$ \lim_{t \rightarrow \infty} f(t)=f(\infty)=\lim_{p \rightarrow 0} pF(p)$$

Remémorez vous le fait vu en mathématiques, qui stipule qu’une expression polynomiale, en l’infini, a le même comportement que son terme de plus haut degré…

Gardez également en tête qu’une expression polynomiale, en zéro, a le même comportement que son terme de plus bas degré !

Cela s’applique également aux quotients d’expressions polynomiales : Les fractions rationnelles !

Appliquons le théorème de la valeur initiale :

$$ \begin{align} \lim_{t \rightarrow 0} g(t) &= \lim_{p \rightarrow \infty} p, G(p) \\ &= \lim_{p \rightarrow \infty} \left(\dfrac{5p}{3(\dfrac{1}{3}+ p)}-\dfrac{3p}{2(\dfrac{1}{2}+ p)}\right) \\ &= \lim_{p \rightarrow \infty} \dfrac{5p}{3p} \minus \lim_{p \rightarrow \infty} \dfrac{3p}{2p}\\ &= \dfrac{5}{3} \minus \dfrac{2}{3} \\ &= \dfrac{3}{3} \\ &= 1 \end{align}$$

Ci-dessus, où l’on fait tendre $p$ vers l’infini, notez que l’on ne considère que le ratio des termes de plus haut degré dans chaque expression !

Appliquons le théorème de la valeur finale :

$$ \begin{align} \lim_{t \rightarrow \infty} g(t) &= \lim_{p \rightarrow 0} p \, G(p) \\ &= \lim_{p \rightarrow 0} \left(\dfrac{5p}{3(\dfrac{1}{3}+ p)}-\dfrac{3p}{2(\dfrac{1}{2}+ p)}\right) \\ &= \lim_{p \rightarrow 0} \dfrac{5p}{1} \minus \lim_{p \rightarrow 0} \dfrac{3p}{1}\\ &= 0 \minus 0 \\ &= 0 \end{align}.$$

Notez que l’on fait tendre $p$ vers $0$ et qu’en conséquence, on ne considère que le ratio des termes de plus bas degré pour chaque expression !