Exo 104 (22-SMN2U04-C3-EX104)
$a)$ Calculons $$\int e^{-a x} d x$$ avec $a$ une constante réelle.
On pose $$u=-a x.$$
On a $$\frac{d u}{d x} = -a$$ de telle sorte que $$d x=-\frac{1}{a} d u.$$
Ainsi $$\begin{aligned}
\int e^{-a x} d x & =-\frac{1}{a} \int e^\mu d u \\
& =-\frac{1}{a} e^u+C \\
& =-\frac{1}{a} e^{-a x}+C
\end{aligned}$$
$b)$ Calculons $$\int \frac{1}{3 x-2} d x.$$ On pose $$u=3 x-2.$$
On a $$\frac{d x}{d x}=3$$ et ainsi $$dx=\frac{1}{3} d u.$$
Nous écrivons ainsi \begin{aligned}
\int \frac{1}{3 x-2} d x & =\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u \\
& =\frac{1}{3} \ln |u|+C \\
& =\frac{1}{3} \ln |u|+C \\
& =\frac{1}{3} \ln |3 x-2|+C
\end{aligned}
$c)$ Calculons $$\int (1-x)^{3 / 2} d x.$$
On pose $$u=1-x.$$ On a $$d u=-d x$$ i.e., $$d x=-d u.$$
Nous écrirons ainsi
\begin{aligned} \int(1-x)^{3 / 2} d x &= -\int u^{3 / 2} d u \\ &= -\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}+C \\ &= -\frac{2}{5}(1-x)^{5 / 2}+C \end{aligned}
$d)$ Calculons $$\int \frac{1}{\sqrt{2 x+1}} d x.$$ On pose $$u=2 x+1$$ de telle sorte que $$d u=2 d x$$ et ainsi $$d x=\frac{1}{2} d u.$$ On a donc
\begin{aligned} \frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} d u &= \frac{1}{2} \cdot 2 ^{\frac{1}{2}}+C \\ &= u^{\frac{1}{2}}+C \\ &=\sqrt{2 x+1}+C \end{aligned}