Exo 100 (22-SMN2U04-C3-EX100)

$a)$ $f(x)=2 x^2+3 x$

\begin{aligned}
\int f(x) d x & =\int\left(2 x^2+3 x\right) d x \\
& =\int 2 x^2 d x+\int 3 x d x \\
& =2 \int x^2 d x+3 \int x d x \\
& =2 \frac{x^3}{3}+C_1+\frac{3 x^2}{2}+C_2 \\
& =\frac{2}{3} x^3+\frac{3}{2} x^2+C
\end{aligned}

où $$C = C_1 + C_2$$ est une constante réelle.

$b)$ $f(x)=\dfrac{\pi}{x}$.

\begin{aligned} \int f(x) d x & =\int \frac{\pi}{x} d x \\ & =\pi \int \frac{1}{x} d x \\ & =\pi \ln |x|+C\end{aligned}

$c)$ $f(x)=a x^{3 / 2}+b x^{-3 / 2}$ avec $a$ et $b$ des constantes.

\begin{aligned} \int f(x) d x &=\int\left(a x^{3 / 2}+b x^{-3 / 2}\right) d x \\
&= \int a x^{3 / 2} d x+\int b x^{-3 / 2} d x \\
&= a \int x^{3 / 2} d x+b \int x^{-3 / 2} d x \\
& =a \frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}+C_1+b \frac{x^{-\frac{3}{2}+1}}{-\frac{3}{2}+1}+C_2 \\
&= \frac{a x^{5 / 2}}{\frac{5}{2}}+C_1+\frac{b x^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}}+C_2 \\
&=\frac{2 a}{5} x^{\frac{5}{2}}+C_1-2 b x^{-\frac{1}{2}}+C_2 \\
&=\frac{2 a}{5} x^{\frac{5}{2}}-2 b x^{-\frac{1}{2}}+C \\
&=\frac{2 a}{5} x^{\frac{5}{2}}-\frac{2 b}{\sqrt{x}}+C \end{aligned}

où $$C = C_1 + C_2$$ est une constante réelle.

$d)$ $f(x)=4+\ln (x).$

\begin{aligned}
\int f(x) d x & =\int(4+\ln (x)) d x \\
& =\int 4 d x+\int \ln (x) d x \\
& =4 x+C_1+x \ln (x)-x+C_2 \\
& =3 x+x \ln (x)+C_1+C_2 \\
& =3 x+x \ln (x)+C
\end{aligned}

avec $$ C = C_1 + C_2.$$

$e)$ $$f(x)=\alpha \cos (x)-\beta \tan (x)+\gamma \sin (x)$$ avec $\alpha,\beta$ et $\gamma$ des constantes réelles.

\begin{aligned} \int f(x) d x & =\int(\alpha \cos (x)-\beta \tan (x)+\gamma \sin (x)) d x \\ = & \int \alpha \cos (x) d x-\int \beta \tan (x) d x +\int \gamma \sin (x) d x \\ &= \alpha \int \cos (x) d x-\beta \int \tan (x) d x +\gamma \int \sin (x) d x \\ &= \alpha \sin (x)+C_1+\beta \ln |\cos (x)| +C_2-\gamma \cos (x)+C_3 \\ &= \alpha \sin (x)+\beta \ln |\cos (x)|-\gamma \cos (x) + C \end{aligned}

Ici, retenez bien que $\int \tan (x) d x=-\ln |\cos (x)|+C$.

avec $C = C_1 + C_2 + C_3$ une constante réelle.

$f)$ \begin{aligned}
f(x) & =3 \cdot 10^x \\
& =3 \cdot \exp (x \ln (10))
\end{aligned}

\begin{aligned}
\int f(x) d x & =\int 3 \exp (x \ln (10)) d x \\
& =3 \int \exp (x \ln (10)) d x \\
& =\frac{3}{\ln (10)} \exp (x \ln (10))+C \\
& =\frac{3}{\ln (10)} 10^x+C
\end{aligned}

avec $C$ une constante réelle.