Méthode Importante n°1 (22-SPO1U12-C4-ME1)

2 janvier 2023 – ATTENTION : Il y avait une grosse bourde dans cette section, avec des horribles racines carrées au niveau des dénominateurs ! HONTEUX !

Gardez bien en tête que si $z=a+ib$, alors $\lvert z \rvert^2 = a^2 + b^2$, et non $\sqrt{a^2+b^2}$ !

Mes excuses !

Rappel : Un nombre complexe $z$ est dit sous forme algébrique si on peut écrire $z = a + ib$ avec $a,b \in \mathbb{R}$.

Considérons $$z_1 = a + ib, \quad z_2 = c+id$$ avec $a,b,c$ et $d$ des réels. Notre objectif est d’exprimer le ratio $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{a + ib}{c+id}$$ sous forme algébrique. C’est-à-dire, exprimer $\dfrac{z_1}{z_2}$ sous la forme $$\dfrac{z_1}{z_2}=e+if$$ avec $e,f$ des réels.

Une technique recommandée pour cela est celle dite des « quantités conjuguées« .

On note que $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1}{z_2} \frac{\overline{z_2}}{\overline{z_2}}$$ et que $z_2 \overline{z_2} = \lvert z_2 \rvert^2$ car on a $z\overline{z} = \lvert z \rvert^2$ pour tout $z\in \mathbb{C}$.

En utilisant les formes algébriques de $z_1$ et $z_2$, cela nous donne :

$$\begin{aligned} \dfrac{z_1}{z_2} &= \dfrac{a + ib}{c+id} \\ &= \dfrac{(a+ib)}{(c+id)} \dfrac{(c-id)}{(c-id)} \\ &= \dfrac{(a+ib)(c-id)}{c^2 +d^2} \\ &= \dfrac{ac -iad +ibc -i^2 bd}{c^2+d^2} \\ &= \dfrac{(ac+bd)}{c^2 +d^2 } + i \dfrac{(bc-ad)}{c^2 +d^2} \\ &= e+if\end{aligned}$$
avec $$ \begin{aligned} e&= \operatorname{Re}( \dfrac{z_1}{z_2}) \\ &= \dfrac{(ac+bd)}{c^2 +d^2 } \end{aligned} $$
et $$ \begin{aligned} f&= \operatorname{Im}( \dfrac{z_1}{z_2}) \\ &= \dfrac{(bc-ad)}{c^2 +d^2}. \end{aligned} $$

Exercice : On pose $$ z_1=\sqrt{6}+i \sqrt{2}$$ $$ z_2=1+i$$

Mettre $\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{\sqrt{6}+i \sqrt{2}}{1+i}$ sous forme algébrique.

On a

$$\begin{aligned}
\dfrac{z_1}{z_2} &=\dfrac{\sqrt{6}+i \sqrt{2}}{1+i}\\ &=\dfrac{(\sqrt{6}+i \sqrt{2})}{(1+i)}\frac{(1-i)}{(1-i)} \\
& =\frac{\sqrt{6}+i \sqrt{2}-i\sqrt{6}+ \sqrt{2}}{1^2+1^2} \\
& =\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}+i(\sqrt{2}-\sqrt{6})}{2} \\
& =\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}+\sqrt{2}}{2}+i\frac{(\sqrt{2}-\sqrt{3} \sqrt{2})}{2} \end{aligned}$$

On a donc $$\dfrac{z_1}{z_2}=\frac{\sqrt{6}+i \sqrt{2}}{1+i}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}+i\frac{(\sqrt{2}-\sqrt{6})}{2} $$

Gardons à l’esprit que si l’on pose $$z=\dfrac{z_1}{z_2}$$ alors on a $$\overline{z} = \dfrac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$$ et $$\lvert z \rvert= \lvert \overline{z} \rvert = \dfrac{\lvert z_1\rvert}{\lvert z_2 \rvert} =\dfrac{\lvert \overline{z_1}\rvert}{\lvert \overline{z_2} \rvert}.$$

Notons que l’on a $$\operatorname{Arg}(\overline{z})= -\operatorname{Arg}(z).$$