Méthode Importante n°2 (22-SPO1U12-C4-ME2)

Trouver l’argument $\operatorname{arg}(\bar{z})$ de $\bar{z}$, le conjugué du nombre complexe $z = -4+4i$.

Rappel : Soit $\theta:=\operatorname{arg}(z)$ l’argument d’un nombre complexe $a+ib$, avec $a,b \in \mathbb{R}$.

Il est bon de savoir que l’on a
$$ \begin{aligned} \cos(\theta) &= \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ &= \dfrac{\operatorname{Re}(z)}{\lvert z \rvert} \end{aligned} $$ et $$\begin{aligned} \sin(\theta) &= \dfrac{b}{\sqrt{a^2 +b^2}} \\ &= \dfrac{\operatorname{Im}(z)}{\lvert z \rvert} \end{aligned}$$

Rappel : Soit $z = a+ib$ un nombre complexe sous forme algébrique. Le conjugué de $z$, dénoté par $\overline{z}$, et défini comme $\overline{z} = a-ib$. Il est important de bien avoir en tête que l’on a $$ \operatorname{arg}(\overline{z}) = -\operatorname{arg}(z) \quad \text{et} \quad \lvert \overline{z} \rvert = \lvert z \rvert. $$

On peut procéder en calculant l’argument de $z$ et en utilisant le fait rappelé ci-dessus.

On peut aussi calculer directement $\operatorname{arg}(\overline{z})$ en effectuant la totalité des calculs à partir de $\overline{z}$. Procédons ainsi.

On a $$\overline{z} = -4 \minus 4i.$$

On a $$ \begin{aligned} \cos(\operatorname{arg}(\overline{z})) &= \dfrac{-4}{\sqrt{(-4)^2+(-4)^2}} \\ &= \dfrac{-4}{\sqrt{32}} \\ &= \dfrac{-4}{\sqrt{2\cdot 16}} \\&= \dfrac{-4}{4\sqrt{2}} \\ &= \dfrac{-1}{\sqrt{2}} \\ &= \dfrac{-\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}\\&= -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned} $$

On a également $$ \begin{aligned} \sin(\operatorname{arg}(\overline{z})) &= \dfrac{-4}{\sqrt{(-4)^2+(-4)^2}}\\&= -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned} $$

Notons que l’on sait, par notre connaissance du tableau des valeurs remarquables des fonctions trigonométriques, ci-dessous,

que l’on a $$\cos(\dfrac{\pi}{4}) = \sin(\dfrac{\pi}{4}) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.$$

Pour tout $x \in \mathbb{R}$, nous avons également les relations

$$
\left\{\begin{array}{l}
\cos (\pi+x)=-\cos (x) \\
\sin (\pi+x)=-\sin (x)
\end{array}\right.
$$

De telles égalités peuvent être retrouvées facilement en faisant un schéma au brouillon comme illustré ci-dessous :

Donc, on a$$
\left\{\begin{array}{l}
\cos (\pi+\dfrac{\pi}{4})=-\cos (\dfrac{\pi}{4}) =- \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
\sin (\pi+\dfrac{\pi}{4})=-\sin (\dfrac{\pi}{4}) =- \dfrac{\sqrt{2}}{2}
\end{array}\right.
$$Par conséquent, on a $$\begin{aligned} \operatorname{arg}(\bar{z}) &= \pi + \dfrac{\pi}{4} \\ &= \dfrac{4\pi}{4}+ \dfrac{\pi}{4} \\ &= \dfrac{5\pi}{4} \end{aligned}$$

On écrira bien sûr cette égalité modulo $2\pi$ : $$ \operatorname{arg}(\bar{z}) = \dfrac{5\pi}{4} \;(\operatorname{mod} \, 2\pi). $$