Exo 7 | (c) (22-SPO1U12-C3-EX7)
Calculer, en utilisant la deuxième formule de changement de variable (du cours) :
$c)$ $\int_0^1 e^{\sqrt{x}}dx \quad (x=\varphi(y)=y^2)$
$c)$ Utilisons le changement de variable $$x = y^2$$ proposé. On a
$$
\frac{d x}{d y}=2 y
$$ et ainsi $$d x=2 y d y.$$
Quand $x = 0$, on a $y=0$, et quand $x=1$, on a $y=1$. Les bornes de l’intégrale resteront donc identiques après changement de variable.
On a ainsi $$
\int_0^1 e^{\sqrt{x}} d x=2 \int_0^1 y e^y d y
$$
Calculons $$
\int_0^1 y e^y d y
$$ via une intégration par parties : On pose $$u=y \quad \text{et} \quad v=e^y.$$ On a $$u^\prime = 1 \quad \text{et} \quad v^\prime = e^y.$$ Appliquons ainsi formule
$$\int_a^b u^{\prime}(x)v(x) dx = \left[u(x)v(x)\right]_a^b – \int_a^b u(x) v^\prime(x)dx $$
d’intégration par parties
$$
\begin{aligned} \int_0^1 y e^y d y
&= {\left[y e^y\right]_0^1-\int_0^1 e^y d y } \\
&= e-(e-1) \\
&= 1
\end{aligned}
$$
et ainsi $$
2 \int_0^1 y e^y d y=2.
$$