Exo 6 | (a), (b) (22-SPO1U12-C3-EX6)

Calculez, en utilisant la première formule de changement de variable les intégrales suivantes (les changements suggérés sont en parenthèse) :
$a)$ $\int_1^2 x e^{x^2} \mathrm{~d}x \quad \left(y=\phi(x)=x^2\right)$
$b)$ $\int_0^4 \frac{1}{1+\sqrt{x}} \mathrm{~d}x \quad (y=\phi(x)=\sqrt{x})$

$a)$ Calculons
$$\int_1^2 x e^{x^2} d x$$ via le changement de variable $$y=x^2.$$
On a $$\frac{d y}{d x}=2 x$$ i.e., $$d y=2 x d x.$$ Commençons par réécrire l’intégrale de façon à faire apparaître l’expression $2xdx$ :
$$\int_1^2 x e^{x^2} d x=\frac{1}{2} \int_1^2 e^{x^2} 2 x d x.$$
Préparons notre changement de variable en déterminant les nouvelles bornes de l’intégrale :
Le changement $y=x^2$ et les bornes initiales $x_1 = 1$ et $x_2 = 2$ donnent des bornes $$ y_1 = 1 \quad \text{et} \quad y_2 = 4. $$

On peut ainsi écrire $$
\begin{aligned}
\frac{1}{2} \int_{1}^{2} e^{x^{2}} 2 x d x & =\frac{1}{2} \int_{1}^{4} e^{y} d y \\
& =\frac{1}{2}\left[e^{y}\right]_{1}^{4} \\
& =\frac{e^{4}-e}{2}
\end{aligned}
$$

$b)$ Calculons à présent
$$\int_0^4 \frac{1}{1+\sqrt{x}} d x$$
On pose $$
y=\sqrt{x}
$$cela donne $$\frac{d y}{d x}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}$$
$$dx=2 \sqrt{x} dy$$ i.e.,
$$dx=2 y dy. $$

Changeons directement les bornes de l’intégrale via le changement de variable proposé et écrivons alors $$
\int_0^4 \frac{1}{1+\sqrt{x}} d x=2 \int_0^2 \frac{y}{1+y} d y
$$
Notons que
$$\frac{y}{1+y} = \frac{1+y-1}{1+y}.$$
Par conséquent,

$$\begin{aligned}
2 \int_0^2 \frac{y}{1+y} d y&=2 \int_0^2 \frac{1+y-1}{1+y} d y \\
& = 2 \int_0^2 \frac{1+y}{1+y} dy – 2\int_0^2 \frac{1}{1+y} \\
& =2 \int_0^2 d y-2 \int_0^2 \frac{1}{1+y} d y \\
& =2\left[ y\right]_0^2-2\left[ \ln (1+y)\right]_0^2 \\
& =4-2 \ln (3) \end{aligned}$$