Exo 2 (22-SPO1U12-C3-EX2)

Calculer les primitives des fractions rationnelles suivantes :

$a)$ $f(x)=\dfrac{x+2}{x^2-2 x+1}$
$b)$ $f(x)=\dfrac{3 x}{x^2+5}$
$c)$ $f(x)=\dfrac{x}{x^2+5 x-6}$.

$a)$ Remarquons tout d’abord que $x^2-2 x+1 = (x-1)^2$. En effet, remémorons nous l’identité remarquable $$ (a-b)^2 = a^2 -2ab +b^2.$$

Remarque : On peut arriver au même résultat en calculant les solutions de $x^2-2 x+1=0$ via la méthode conventionnelle : Calcul du discriminant $$ \Delta = 4 – 4\cdot 1\cdot 1 = 0$$ et l’on arrive à une unique solution double $r_0 = 1$, ce qui donne une factorisation de $x^2-2 x+1$ nous ramenant à $(x-1)^2$.

Nous allons effectuer une décomposition en éléments simples : On cherche des réels $A,B$ tels que

$$\frac{x+2}{(x-1)^2} = \frac{A}{(x-1)^2}+\frac{B}{x-1} .$$
En mettant le membre de droite au même dénominateur, cette égalité est équivalente à
$$\frac{x+2}{(x-1)^2} = \frac{A+ B(x-1)}{(x-1)^2} .$$

et cela nous donne $$x+2 = A+Bx – B$$ i.e.,
$$x+2=B x+A-B$$
On a donc $$\left\{\begin{array} { l }
{ B = 1 } \\
{ A – B = 2 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
B=1 \\
A=3
\end{array}\right.\right.$$

Par conséquent, $$ \begin{aligned} \frac{x+2}{x^2-2 x+1} &= \frac{x+2}{(x-1)^2} \\ &= \frac{3}{(x-1)^2}+\frac{1}{x-1}\end{aligned}$$
On a donc

$$\begin{aligned} \int \dfrac{x+2}{x^2-2 x+1} dx &= \int (\frac{3}{(x-1)^2}+\frac{1}{x-1}) dx \\ &= \int \frac{3}{(x-1)^2} d x+\int \frac{1}{x-1} d x \\ &= 3 \int \frac{1}{(x-1)^2} d x+\int \frac{1}{x-1} dx \end{aligned} $$

En ce qui concerne la seconde intégrale, $$\int \frac{1}{x-1} d x$$ il est clair que nous avons ici une forme du type $$\int \dfrac{u^\prime (x)}{ u(x)} dx $$ dont une primitive est $$\ln(\lvert u(x) \rvert )+C $$ où $C$ est une constante réelle. On a ainsi $$\int \dfrac{1}{x-1}dx = \ln({\lvert x-1 \rvert})+C_1$$ avec $C_1$ constante réelle.

Pour traiter la première intégrale $$3 \int \frac{1}{(x-1)^2} d x$$ deux possibilités. On peut procéder en invoquant directement le cours

Fractions de type b) à savoir des fractions de la forme $\frac{1}{(x+a)^2}$.
Parce que $\left(\frac{1}{x+a}\right)^{\prime}=-\frac{1}{(x+a)^2}$, on en déduit que
$$
\int \frac{1}{(x+a)^2} \mathrm{~d} x=-\frac{1}{x+a}+C_1
$$ avec $a = -1$ et $C_1$ une constante réelle.

et obtenir
$$3 \int \frac{1}{(x-1)^2} d x = -\dfrac{3}{x-1} +C_2$$ et $C_2$ une constante réelle.

Insérer table des primitives usuelles.

On peut également utiliser notre connaissance de la table des primitives usuelles, qui nous permet de savoir que la primitive de $u^{-2}$ est $-u^{-1}$, à une constante près, i.e., $$\int \frac{1}{u^2}du = -\dfrac{1}{u} + C$$ où $C$ est une constante réelle.

En effectuant le changement de variable $u = x-1$, on obtient ainsi $$\int \frac{1}{(x-1)^2} d x = -\dfrac{1}{x-1} +C_3$$ avec $C_3$ une constante réelle. Ainsi,

$$3 \int \frac{1}{(x-1)^2} d x = -\dfrac{3}{x-1} +3C_3.$$

Par conséquent,

$$ \begin{aligned} \int \frac{x+2}{x^2-2 x+1} d x &= 3 \int \frac{1}{(x-1)^2} d x+\int \frac{1}{x-1} dx \\ &=
\ln (|x-1|) -\dfrac{3}{x-1} + C_4
\end{aligned}$$
avec $C_4 = C_1 + 3C_3$.

$b)$
$$ \begin{aligned} \int \frac{3 x}{x^2+5} d x &=\frac{3}{2} \int \frac{2 x}{x^{2}+5} d x \\ &= \frac{3}{2} \int \frac{u^{\prime}(x)}{u(x)} d x \end{aligned}$$
Avec
$$u(x)=x^{2}+5 $$
Nous donne
$$
\begin{aligned}
\int \frac{3 x}{x^{2}-5} d x & =\frac{3}{2} \ln (|u(x)|)+C \\
& =\frac{3}{2} \ln \left(\left|x^{2}+5\right|\right)+C
\end{aligned}
$$
Notons que l’on a $$\forall x \in \mathbb{R}, \quad x^2+5 >0$$ et ainsi $$ \lvert x^2 +5 \rvert = x^2 +5 .$$
Par conséquent
$$ \int \frac{3 x}{x^{2}-5} d x =\frac{3}{2} \ln (x^2+5)+C. $$

$c)$ Calculons $$ \int \dfrac{x}{x^2+5 x-6}dx$$
$$
\begin{array}{l}
x^{2}+5 x-6=0 \\
\Delta=5^{2}-4 \cdot 1 \cdot(-6) \\
=25+24=49
\end{array}
$$

$$
\begin{array}{l}
x_{1}=\dfrac{-5+\sqrt{49}}{2}=\dfrac{2}{2}=1 \\
x_{2}=\dfrac{-5-\sqrt{49}}{2}=\dfrac{-5-7}{2}=-6
\end{array}
$$
$$
x^{2}+5 x-6=(x-1)(x+6)
$$
$$
\int \frac{x}{x^{2}+5 x-6} d x=\int \frac{x}{(x-1)(x+6)} d x
$$
On cherche des réels $A,B$ tels que

$$
\begin{aligned}
\frac{x}{(x-1)(x+6)} & =\frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x+6)} \\
& =\frac{A(x+6)+B(x-1)}{(x-1)(x+6)} \\&= \frac{(A+B) x+6 A-B}{(x-1)(x+6)}
\end{aligned}
$$
On a ainsi
$$ \frac{x}{(x-1)(x+6)}=\frac{(A+B) x+6 A-B}{(x-1)(x+6)} $$

$$
\left\{\begin{array}{l}
A+B=1 \\
6 A-B=0
\end{array}\right.
$$

$$
\left\{\begin{array}{l}
B=1-A \\
6 A-1+A=0
\end{array}\right.
$$

$$
\left\{\begin{array}{l}
B=1-A \\
7A-1=0
\end{array}\right.
$$

$$ A = \dfrac{1}{7}\quad \text{et} \quad B = \dfrac{6}{7}.$$

On a donc
$$ \frac{x}{(x-1)(x+6)}=\frac{\dfrac{1}{7}}{(x-1)} + \frac{\dfrac{6}{7}}{(x+6)} $$

On a donc
$$\begin{aligned} \int \frac{x}{(x-1)(x+6)}dx&= \int \frac{\dfrac{1}{7}}{(x-1)}dx + \int \frac{\dfrac{6}{7}}{(x+6)}dx \\ &= \dfrac{1}{7} \int \frac{1}{(x-1)}dx + \dfrac{6}{7} \int \frac{1}{(x+6)} dx \\&= \dfrac{1}{7}\ln(\lvert x-1 \rvert) + \dfrac{6}{7} \ln(\lvert x+6\rvert) +C \end{aligned} $$
pour une constante $C\in \mathbb{R}$.