QDC6 (22-SPO1U12-C1-QDC6)

Considérons quatre points non-alignés, différents deux à deux, tels que le quadrilatère ABCD soit convexe (c’est-à-dire que les diagonales $[A C]$ et $[B D]$ se croisent en un point).

Combien de vecteurs non-nuls différents ont des représentants parmi les segments ayant comme origine et extrémité deux des points $A, B, C$ et $D$ ? (indication : le nombre de vecteur baisse si le quadrilatère ABCD est un parallélogramme)

Premier cas : Le quadrilatère convexe ABCD n’est pas un parallélogramme. Une telle figure ne possède pas de côtés parallèles (deux à deux).

Pour chaque côté et chaque diagonale, on obtient deux vecteurs : Par exemple, le côté vert nous donne $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{DA}$, ce dernier étant égal à $\overrightarrow{AD}$.

Cela nous fait donc deux vecteurs par côté et par diagonale.

Faisons le compte : Un quadrilatère ayant $4$ côtés et deux diagonales, on a un total de $$(4+2)\times 2 = 12 $$ vecteurs non-nuls et distincts qui ont des représentants parmi les segments ayant comme origine et extrémité les deux points $A,B,C$ et $D$.  

Second cas : Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme

On a ici $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}$ qui nous donnent deux paires de côtés parallèles.

On ne comptera donc qu’un seul côté vert, et qu’un seul côté bleu, avec les deux diagonales.

Chaque côté et diagonale contribuant à hauteur de deux vecteurs au total des vecteurs ayant des représentants parmi les segments ayant comme origine et extrémité les deux points $A,B,C$ et $D$, on déduit que l’on a un total de $ 4 \times 2 = 8$ vecteurs non nuls.