QDC8 (22-SPO1U12-C1-QDC8)
Dans la figure suivante, $A B C D$ et BEFC sont des parallélogrammes. Parmi les segments qui commencent et se terminent avec les points $A, B, C, D, E$ ou F, trouvez tous les représentants du vecteur $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{E F}$.
Même question pour le vecteur $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}$.
(indication: il y a un seul segment pour la première question, et six pour la deuxième).
Commençons par calculer $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{EF}$.
Nous allons appliquer Chasles : Mettons « bout à bout » $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{EF}$.
Ici, nous n’avons pas besoin de construire un représentant de $\overrightarrow{EF}$ débutant en $B$ : En effet, un tel représentant est déjà fourni par la figure de l’énoncé. Nous pouvons directement utiliser $\overrightarrow{BC}$ qui satisfait $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{EF}$ et débute en $B$.
Notez que l’égalité $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{EF}$ vient du fait que $BECF$ est un parallélogramme.
On a donc \begin{align} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{EF} &= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \ &= \overrightarrow{AC} \end{align}
où l’on a utilisé Chasles pour obtenir la dernière égalité : $ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.
Nous avons donc obtenu un représentant de $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{EF}$ : Le vecteur $\overrightarrow{AC}$.
Pour déterminer s’il existe un autre représentant de $\overrightarrow{AC}$, on se pose la question :
Est-il possible de trouver sur la figure un représentant d’un vecteur ayant la même direction, le même sens et la même norme que $\overrightarrow{AC}$?
La réponse est clairement non, étant donné qu’on ne peut même trouver un seul vecteur ayant la même direction et le même sens que $\overrightarrow{AC}$.
Passons au calcul de $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{CD}$. En observant la figure, on remarque que $\overrightarrow{BA}$ est égal à $\overrightarrow{CD}$ (une telle égalité découle en effet des propriétés d’un parallélogramme, ici ABCD, notez que l’on a aussi, en passant, $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ pour la même raison, mais cela ne nous sera pas utile ici).
On a donc $$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA} = – \overrightarrow{AB}$$
et l’on déduit que \begin{align} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} &= \overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AB} \ &= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} \ &= \overrightarrow{AA} \ &= \overrightarrow{0} \end{align}
Notons que les deux dernières étapes ne sont pas nécessaires, on peut aussi directement écrire $$\overrightarrow{AB} \, – \, \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}$$
Les six autres représentants de $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}$ sont donnés par les vecteurs associés aux points présents sur la figure : $\overrightarrow{AA},\overrightarrow{BB}, \overrightarrow{CC}, \overrightarrow{DD}, \overrightarrow{EE}, \overrightarrow{FF}$…
Ces derniers sont tous égaux au vecteur nul $\overrightarrow{0}$ !