QDC20 (22-SPO1U12-C1-QDC20)
Question de cours 20 Soit $(\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})$ une base orthonormée directe de V $V_3$. Parmi les bases orthonormées suivantes,
$$
(\vec{\jmath}, \vec{\imath}, \vec{k}), \quad(\vec{\jmath}, \vec{k}, \vec{\imath}) \text { et }(-\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})
$$
lesquelles sont directes, lesquelles sont indirectes?
Afin de traiter les deux premiers cas, je vais employer l’approche présentée en séance dont le but est d’éviter d’avoir recours à la caractérisation géométrique impliquant les histoires de pouces / main droite et cie…
Prenons trois vecteurs $\ve{b_1},\ve{b_2}$ et $\ve{b_3}$. Supposons que ces trois vecteurs forment une base directe $(\ve{b_1},\ve{b_2},\ve{b_3})$ et que l’on veuille connaître les produits vectoriels du type $\ve{b_i} \wedge \ve{b_j}$ pour $$ 1\leq i,j \leq 3.$$
Si vous avez tout oublié, que vous ne vous souvenez plus de rien, alors, tracez ce petit diagramme, avec les flèches :
Les choses marchent de la façon suivante : Si la base $(\ve{b_1},\ve{b_2},\ve{b_3})$ est directe alors on « va de $\ve{b_1}$ vers $\ve{b_2}$
Si l’on veut par exemple calculer $\ve{b_2} \wedge \ve{b_3}$, alors on sait que le résultat est de la forme $\pm \ve{b_1}$, car on doit retenir que le produit vecteur de deux éléments du diagramme est quelque chose de la forme « plus ou moins le troisième élément du diagramme » : Pour savoir si il faut mettre un plus ou un moins, un se pose la question :
Aller de $\ve{b_2}$ vers $\ve{b_3}$ nous fait-il suivre le sens opposé à celui de la flèche ?
Aller de $b_2$ vers $b_3$ nous fait aller dans le sens de la flèche. On a donc $$\ve{b_2} \wedge \ve{b_3} = \, \ve{b_1}$$
Si le sens avait été contrarié, c’est-à-dire, si le chemin du vecteur $b_2$ vers $b_3$ allait dans le sens contraire à celui de la flèche reliant ces deux vecteurs, on aurait alors eu $\ve{b_2} \wedge \ve{b_3}$ est $$\ve{b_2} \wedge \ve{b_3} = – \, \ve{b_1}.$$
Notez la présence du un moins, car l »on va dans le sens opposé à celui de la flèche.
C’est ce qui se serait produit si $(\ve{b_1},\ve{b_2},\ve{b_3})$ avait été une base indirecte. Nous aurions réalisé le même diagramme, mais avec des flèches dans l’autre sens.
Ce qu’il faut ici garder en tête est que si une base $(\ve{i},\ve{j}, \ve{k})$ est directe alors ses éléments $\ve{i},\ve{k}$ et $\ve{k}$ satisfont les relations que l’on peut retrouver à partir du diagramme « cyclique » suivant :
Les trois principales relations satisfaites par ces vecteurs, lorsque $(\ve{i},\ve{j},\ve{k})$ est une base directe, sont :
- $ \ve{i} \wedge \ve{j} = \ve{k}$
- $ \ve{j} \wedge \ve{k} = \ve{i}$
- $ \ve{k} \wedge \ve{i} = \ve{j}$
et il vient immédiatement que
- $ \ve{i} \wedge \ve{k} = -\; \ve{j}$
- $ \ve{j} \wedge \ve{i} = -\; \ve{k}$
- $ \ve{k} \wedge \ve{j} = -\;\ve{i}$
Les propriétés du produit vectoriel :
Pour tout vecteur $\ve{u}$ de l’espace (i.e., de $V_3$), on a $$\ve{u} \wedge \ve{u} = \ve{0}.$$
Pour tous vecteurs $\ve{u}$ et $\ve{v}$ de l’espace, on a $$ \ve{u} \wedge \ve{v} = – \; \ve{u} \wedge \ve{v}.$$
Remarque : Cette relation est la propriété d’anti-commutativité du produit vectoriel. On peut au passage faire le lien avec notre histoire de « sens de la flèche », avec l’idée sous-jacente « Aller du $\ve{u}$ vers $\ve{v}$ est, à un signe moins près, la même chose qu’aller de $\ve{v}$ vers $\ve{u}$ ».
La base $(\ve{j},\, \ve{i},\, \ve{k})$ est-elle directe ?
Ici, il y a trois approches possibles :
- Utiliser les histoires de main gauche / droite, pouce et compagnie. J’y reviendrai peut-être plus tard, mais, pour le moment, laissons cette approche de côté.
- On utilise le diagramme associé à la base directe $(\ve{i}, \ve{j}, \ve{k})$ et l’on regarde si la base $(\ve{j},\, \ve{i},\, \ve{k})$ a la même orientation que $(\ve{i}, \ve{j}, \ve{k})$ en traçant son diagramme.
On constate que le diagramme associé à la base $(\ve{j},\, \ve{i},\, \ve{k})$ a une orientation opposée à celle du diagramme associé à $(\ve{i} ,\, \ve{j}, \, \ve{k})$. Par exemple, sur le diagramme de gauche, on a une flèche qui va de $\ve{k}$ vers $\ve{j}$ tandis que le diagramme de droite présente une flèche qui va de $\ve{j}$ vers $\ve{k}$. En observant les choses de plus près, on constate que les deux diagrammes ont une orientation opposée.
La base $(\ve{i},\, \ve{j}, \,\ve{k})$ étant par hypothèse directe, il vient alors que la base $(\ve{j},\, \ve{i},\, \ve{k})$ a une orientation opposée, c’est-à-dire, indirecte.