QDC19 (22-SPO1U12-C1-QDC19)
Soit $(\vec{\imath}, \vec{\jmath})$ une base orthonormée de $V_2$. Est-ce que la base $(2 \vec{\imath}, 2 \vec{\jmath})$ est normée? orthogonale? orthonormée? Mêmes questions pour la base $\left(\dfrac{\vec{i}+\vec{\jmath}}{\sqrt{2}}, \vec{\jmath}\right)$.
Est-ce que la base $(2 \;\, \overrightarrow{i}\, , 2 \; \, \overrightarrow{j})$ est normée ?
Pour déterminer si la base $(2 \;\, \overrightarrow{i}\, , 2 \; \, \overrightarrow{j})$ est normée, nous devons déterminer si les vecteurs $2 \;\, \overrightarrow{i}$ et $2 \;\, \overrightarrow{j}$ sont unitaires. Par hypothèse, la base $( \overrightarrow{i}\, , \; \, \overrightarrow{j})$ est orthonormée, donc, orthogonale et normée. Les vecteurs $\overrightarrow{i}$ et $ \overrightarrow{j}$ satisfont donc $$ \lVert \; \overrightarrow{i} \; \rVert = \lVert \; \overrightarrow{j} \; \rVert = 1. $$
En utilisant la formule du polycopié, page $20$,
on peut rapidement obtenir que $$ \lVert \; 2\; \overrightarrow{i} \; \rVert = \lVert \; 2\; \overrightarrow{j} \; \rVert = 2. $$
Par conséquent, la base $(2 \;\, \overrightarrow{i}\, , 2 \; \, \overrightarrow{j})$ n’est pas normée, car les vecteurs qui la composent n’ont pas une norme égale à $1$.
Est-ce que la base $(2 \;\, \overrightarrow{i}\, , 2 \; \, \overrightarrow{j})$ est orthogonale ?
Pour déterminer si la base $(2 \;\, \overrightarrow{i}\, , 2 \; \, \overrightarrow{j})$ est orthogonale, nous devons déterminer si les vecteurs $2 \;\, \overrightarrow{i}$ et $2 \;\, \overrightarrow{j}$ sont orthogonaux, i.e., si ils sont perpendiculaires. La base $( \overrightarrow{i}\, , \; \, \overrightarrow{j})$ étant par hypothèse orthogonormée, c’est-à-dire, normée et orthogonale, nous savons que les vecteurs $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$ sont orthogonaux.
Observons que le vecteur $2 \;\, \overrightarrow{i}$ est (définition de la colinéarité) colinéaire à $\overrightarrow{i}$. Par conséquent, il a la même direction que ce dernier.
De même, le vecteur $2 \;\, \overrightarrow{j}$ est colinéaire à $\overrightarrow{j}$. Par conséquent, il a la même direction que ce dernier.
Les directions étant préservées, les vecteurs $2 \;\, \overrightarrow{i}$ et $2 \;\, \overrightarrow{j}$ sont orthogonaux. Formulé autrement, l’angle entre ces deux vecteurs est le même que l’angle entre $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$ : C’est toujours $\dfrac{\pi}{2}$.
La base $(2 \;\, \overrightarrow{i}\, , 2 \; \, \overrightarrow{j})$ est donc orthogonale.
Est-ce que la base $(2 \;\, \overrightarrow{i}\, , 2 \; \, \overrightarrow{j})$ est orthonormale ?
Nous appliquons ici la définition d’une base orthonormale : Pour être orthonormale, une base doit être à la fois normée et orthogonale.
Nous avons montré que $(2 \;\, \overrightarrow{i}\, , 2 \; \, \overrightarrow{j})$ satisfait ne satisfait qu’une seule de ces deux conditions.
Par conséquent, la base $(2 \;\, \overrightarrow{i}\, , 2 \; \, \overrightarrow{j})$ n’est pas orthonormale.
Pour le cas de la base $(\dfrac{ \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}}{\sqrt{2}}\, , 2 \; \, \overrightarrow{j}\; )$, nous allons utiliser le produit scalaire pour traiter la vérification de chaque point :
La base $(\dfrac{ \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}}{\sqrt{2}}\, ,\; \, \overrightarrow{j}\; )$ est-elle normée ?
On va utiliser la formule page 33, qui nous indique que pour le carré de la norme de tout vecteur $\overrightarrow{v}$ satisfait $$ \lVert \; \overrightarrow{v} \; \rVert^2 = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v} $$
Comme la racine carrée de $1$ est égale à 1, il est clair qu’un vecteur $\overrightarrow{v}$ a une norme égale à 1 si et seulement si $$\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v} =1.$$
Nous allons calculer $\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}$ en prenant $$v = \dfrac{ \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}}{\sqrt{2}}.$$
On a \begin{align}(\dfrac{ \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}}{\sqrt{2}})\cdot (\dfrac{ \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}}{\sqrt{2}}) &= \dfrac{1}{\sqrt{2}} \dfrac{1}{\sqrt{2}} \;(\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j})\cdot (\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}) \\ &= \dfrac{1}{2} ( \; \overrightarrow{i}\cdot \overrightarrow{i} + \overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{j} + \overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{j}\;) \end{align}
En utilisant l’expression du carré de la norme d’un vecteur $\overrightarrow{v}$ comme le produit scalaire $\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}$, on a $$\overrightarrow{i}\cdot \overrightarrow{i} = \lVert \; \overrightarrow{j} \; \rVert^2 = 1^2 = 1$$ car $\overrightarrow{i}$ est un vecteur normé (remémorez vous que la base $(\;\, \overrightarrow{i}\, , \; \, \overrightarrow{j}\;)$ est orthonormée par hypothèse, ce qui implique que les vecteurs la formant ont norme $1$). Pour exactement les mêmes raisons, on a $$\overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{j} = \lVert \; \overrightarrow{j} \; \rVert^2 = 1^2 = 1.$$
En ce qui concerne les termes $\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{i}$, je tiens à vous faire remarquer, comme indiqué dans le polycopié, page 34, que le produit scalaire est commutatif. Par conséquent, $$\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{j} =\overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{i}.$$ Les vecteurs $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$ formant une base orthonormée (énoncé), ils sont orthogonaux : Leur produit scalaire est nul : $$\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{j} = 0.$$ On peut donc écrire \begin{align}\lVert \;(\; \dfrac{ \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}}{\sqrt{2}})\; \rVert^2 &= (\dfrac{ \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}}{\sqrt{2}})\cdot (\dfrac{ \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}}{\sqrt{2}}) \\ &= \dfrac{1}{2} ( \; \overrightarrow{i}\cdot \overrightarrow{i} + \overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{j} + \overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{j}\;) \\ &= \dfrac{1}{2}( \; \lVert \; \overrightarrow{i} \; \rVert^2 + 2 \; \,\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{j} + \lVert \; \overrightarrow{j} \; \rVert^2 \;) \\ &= \dfrac{1}{2} ( 1 + 0 + 1) \\ &= \dfrac{1}{2}\,2 = 1\end{align}
Le carré de la norme du vecteur $\dfrac{ \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}}{\sqrt{2}}$ est donc égal à $1$. La norme d’un vecteur étant une quantité toujours positive, on déduit de $$\lVert \;(\; \dfrac{ \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}}{\sqrt{2}}\;)\; \rVert^2 =1 $$ que $$\lVert \;(\; \dfrac{ \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}}{\sqrt{2}}\; )\; \rVert = 1$$ Le vecteur $\dfrac{ \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}}{\sqrt{2}}$ est donc normé. L’hypothèse de l’énonce stipulant que $( \;\, \overrightarrow{i}\, , \; \, \overrightarrow{j})$ est une base orthonormée nous permet d’affirmer que le vecteur $\overrightarrow{j}$ a une norme égale à $1$.
La base $(\dfrac{ \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}}{\sqrt{2}}\, ,\; \, \overrightarrow{j}\; )$ est donc normée.
La base $(\dfrac{ \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}}{\sqrt{2}}\, ,\; \, \overrightarrow{j}\; )$ est-elle orthogonale ?
Pour répondre à cette question, nous calculons le produit scalaire $$\dfrac{ (\;\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}\;)}{\sqrt{2}} \cdot \overrightarrow{j}.$$ Si celui-ci est non-nul, alors les vecteurs $\dfrac{ \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}}{\sqrt{2}}$ et $\overrightarrow{j}$ ne sont pas orthogonaux. Si ce produit scalaire est nul, alors, ces deux vecteurs sont orthogonaux.
On a \begin{align} \dfrac{ (\;\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}\;)}{\sqrt{2}} \cdot \overrightarrow{j} &= \dfrac{1}{\sqrt{2}} \; (\;\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}\;) \cdot \overrightarrow{j} \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{2}} ( \;\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{j} + \overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{j} \;) \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{2}} ( \;\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{j} + \lVert \overrightarrow{j} \rVert^2 \;) \end{align}
La base $( \overrightarrow{i}\, , \; \, \overrightarrow{j})$ étant une base orthonormée, on a : $$\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{j} = 0 \quad \text{car cette base est orthogonale}$$ et $$ \lVert \overrightarrow{j} \rVert^2 = 1 \quad \text{car cette base est normée.}$$ L’expression de $\dfrac{ (\;\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}\;)}{\sqrt{2}} \cdot \overrightarrow{j} $ s’écrit alors comme \begin{align} \dfrac{ (\;\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}\;)}{\sqrt{2}} \cdot \overrightarrow{j} &= \dfrac{1}{\sqrt{2}} ( \;\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{j} + \lVert \overrightarrow{j} \rVert^2 \;) \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{2}} (0+1) \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ &= \dfrac{\sqrt{2}}{2} \neq 0.\end{align}
Les vecteurs $\dfrac{ \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}}{\sqrt{2}}$ et $\overrightarrow{j}$ ne sont donc pas orthogonaux. La base $(\dfrac{ \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}}{\sqrt{2}}\, ,\; \, \overrightarrow{j}\; )$ n’est donc pas orthogonale.
La base $(\dfrac{ \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}}{\sqrt{2}}\, ,\; \, \overrightarrow{j}\; )$ est-elle orthonormée ?
Non ! La base est bien normée, mais elle n’est pas orthogonale, comme nous venons de le montrer. La base $(\dfrac{ \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}}{\sqrt{2}}\, ,\; \, \overrightarrow{j}\; )$ n’est donc pas orthonormée.