QDC18 (22-SPO1U12-C1-QDC18)
Soit $\vec{v}$ un vecteur non nul. Trouvez un vecteur unitaire $\vec{e}$ qui ait la même direction et le même sens que $\vec{v}$.
Rappel n°1 : La norme d’un vecteur $\overrightarrow{v}$ est dénotée par $\lVert \; \overrightarrow{v} \; \rVert$.
Rappel n°2 : Un vecteur de norme égale à 1 est appelé un vecteur unitaire. Un vecteur $ \ve{v}$ est donc unitaire si et seulement si $\lVert \; \overrightarrow{v} \; \rVert = 1$.
Nous voulons déterminer un vecteur unitaire $\overrightarrow{u}$ ayant la même direction et le même sens que $\overrightarrow{v}$. Traduisons ces informations en utilisant le formalisme mathématique :
- 1ère info : Le vecteur $\overrightarrow{u}$ doit être unitaire. Cela signifie que sa norme doit être égale à $1$, i.e., $\lVert \; \overrightarrow{u} \; \rVert = 1 $.
- 2ème info : Le vecteur $\overrightarrow{u}$ doit avoir la même direction que $\overrightarrow{v}$. Cela signifie que $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ doivent être colinéaires : Il existe un réel non-nul $k$ tel que $\overrightarrow{u} = k \; \overrightarrow{v}$.
- 3ème info : Le vecteur $\overrightarrow{u}$ doit avoir le même sens que $\overrightarrow{v}$. Par conséquent, le réel $k$ exhibé ci-dessus doit être strictement positif !
Prenons la première condition devant être satisfaite par $\overrightarrow{u}$, c’est-à-dire, $\lVert \; \overrightarrow{u} \; \rVert = 1 $, et combinons-la avec les deux autres informations :
La seconde information nous permet d’écrire $$\lVert \; \overrightarrow{u} \; \rVert = \lVert \, k \; \overrightarrow{v} \,\rVert = 1.$$
Avant d’aller plus loin, je vous invite à lire la section 2.2, pages 19 et 20, du polycopié.
et notamment le passage suivant qui vient juste après
Nous venons de montrer que l’on a $$\lVert \; \overrightarrow{u} \; \rVert = \lVert \, k \; \overrightarrow{v} \,\rVert = 1.$$
En utilisant la formule dans le passage surligné en jaune ci-dessus, on peut écrire
$$ \lVert \, k \; \overrightarrow{v} \,\rVert = \lvert k \rvert \; \lVert \; \overrightarrow{v} \;\rVert = 1$$
Le vecteur $\overrightarrow{v}$ étant non-nul (énoncé de la question), on a $\lVert \; \overrightarrow{v} \;\rVert \neq 0$ et l’on déduit de la dernière égalité que $$\lvert k \rvert = \dfrac{1}{\lVert \; \overrightarrow{v} \; \rVert}.$$
En regardant la définition de la valeur absolue en fin de page $19$, et en nous remémorant la troisième information, qui stipule que $k$ est strictement positif, on déduit que $$\lvert k \rvert = k = \dfrac{1}{\lVert \; \overrightarrow{v} \; \rVert}.$$
On a donc $$\overrightarrow{u} = k \; \overrightarrow{v} = \dfrac{1}{\lVert \; \overrightarrow{v} \; \rVert} \; \overrightarrow{v}.$$
- Le vecteur $\overrightarrow{u} = \dfrac{1}{\lVert \; \overrightarrow{v} \; \rVert} \; \overrightarrow{v} $ est colinéaire à $\overrightarrow{v}$ (regardez la définition de la colinéarité de deux vecteurs en début de section 3.1.1 si vous avez des difficultés sur ce point).
- Etant donné que $\frac{1}{\lVert \; \overrightarrow{v} \; \rVert} $ est une quantité strictement positive, le vecteur $\overrightarrow{u} = \dfrac{1}{\lVert \; \overrightarrow{v} \; \rVert} \; \overrightarrow{v} $ a le même sens que $\overrightarrow{v}$.
- Vérifions que $\overrightarrow{u}$ est un vecteur unitaire : Calculons sa norme.
On a $$\lVert \; \overrightarrow{u} \; \rVert = \lVert \; \dfrac{1}{\lVert \; \overrightarrow{v} \; \rVert} \; \overrightarrow{v} \;\rVert.$$ Utilisons à nouveau l’extrait
du polycopié pour obtenir $$\lVert \; \overrightarrow{u} \; \rVert = \dfrac{1}{\lVert \; \overrightarrow{v} \; \rVert} \;\lVert \; \overrightarrow{v} \;\rVert.$$
où l’on garde à l’esprit que $\dfrac{1}{\lVert \; \overrightarrow{v} \; \rVert} $ est une quantité strictement positive, par conséquent égale à sa valeur absolue. Ainsi, on obtient $$\lVert \; \overrightarrow{u} \; \rVert = \dfrac{\lVert \; \overrightarrow{v} \; \rVert}{\lVert \; \overrightarrow{v} \; \rVert} = 1 .$$
Le vecteur $$\overrightarrow{u} = \frac{1}{\lVert \; \overrightarrow{v} \; \rVert} \; \overrightarrow{v}$$ possède donc bien toutes les propriétés désirées.
La morale de cette question de cours est la suivante : Pour tout vecteur $\ve{v}$ non-nul, on peut obtenir un vecteur unitaire $\dfrac{\ve{v}}{\lVert \; \ve{v} \; \rVert}$. C’est-à-dire que pour tout vecteur $\ve{v}$, non-nul, le vecteur $\dfrac{\ve{v}}{\lVert \; \ve{v} \; \rVert}$ est un vecteur unitaire.