QDC16 (22-SPO1U12-C1-QDC16)
Soit $\vec{u}, \vec{v}$ et $\vec{w}$ trois vecteurs non nuls de $V_3$. On sait que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires. Est-ce que les vecteurs $\vec{u}, \vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires?
Commençons par rappeler la définition de la coplanarité de trois vecteurs, juste au-dessus de la question de cours 16 dans le polycopié.
Par définition, trois vecteurs $v_1,v_2$ et $v_3$ de $V_3$ (où $V_3$ dénote l’espace) sont coplanaires s’il existe trois nombres réels $a,b,c$, dont au moins un est non nul, tels que $$ a \; \overrightarrow{v_1} + b \; \overrightarrow{v_2} + c \; \overrightarrow{v_3} = 0$$
L’énoncé nous présente trois vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ non-nuls de $V_3$ tels que $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires.
En appliquant la définition de la colinéarité (début de section 3.1.1), on peut ainsi écrire qu’il existe un réel non-nul $k$ tel que $u = k \; \, \overrightarrow{v}$.
Cette expression peut s’écrire comme $$ \overrightarrow{u} \; – \; k \; \overrightarrow{v} = 0$$ mais aussi comme
$$ \overrightarrow{u} \; – \; k \; \overrightarrow{v} + 0 \; \overrightarrow{w} = 0$$
En regardant la définition de coplanarité rappelée ci-dessus, on constate que nous obtenons bien une expression de la forme $$ a \; \overrightarrow{u} + b \; \overrightarrow{v} + c \; \overrightarrow{w} = 0$$
avec $$a = 1, \; b = -k,\; c = 0$$ et l’on constate que la condition stipulant qu’au moins un des trois réels $a,b,c$ doit être non-nul respectée : On a en effet deux réels sur les trois qui sont ici non-nuls :
$a =1 \neq 0$ et $k\neq 0$.
Notons que $k\neq 0$ est vrai car la définition de la colinéarité, qui nous a permis d’exhiber $k$, stipule que ce dernier est non-nul (définition en début de section 3.1.1).
L’expression $$ \overrightarrow{u} \; – \; k \; \overrightarrow{v} + 0 \; \overrightarrow{w} = 0$$ ainsi obtenue, nous permet donc d’affirmer que pour tous vecteurs non-nuls $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ de $V_3$ (i.e., de l’espace !) tels que deux d’entre eux sont colinéaires (par exemple, $u$ et $v$, mais $v$ et $w$ colinéaires auraient aussi fait l’affaire) alors les trois vecteurs sont automatiquement coplanaires !
Cette question de cours est intéressante : La technique utilisée pour produire le résultat attendu consiste simplement à prendre la maîtrise du formalisme, pour écrire l’expression
$$ \overrightarrow{u} \; – \; k \; \overrightarrow{v} = 0$$ comme $$ \overrightarrow{u} \; – \; k \; \overrightarrow{v} + 0 \; \overrightarrow{w} = 0,$$ c’est-à-dire que l’on a ici ajouté le terme $$0 \; \overrightarrow{w}$$ qui est égal à zéro, des deux côtés de la première égalité de façon à nous ramener à la forme $$ a \; \overrightarrow{v_1} + b \; \overrightarrow{v_2} + c \; \overrightarrow{v_3} = 0,$$ avec au moins un des réels $a,b,c$ non-nuls, que l’on doit mettre en évidence afin d’affirmer que les trois vecteurs non-nuls $\overrightarrow{v_1}$, $\overrightarrow{v_2}$ et $\overrightarrow{v_3}$ sont coplanaires.