QDC15 (22-SPO1U12-C1-QDC15)

Soit $\vec{v}$ un vecteur qui a les mêmes coordonnées dans toutes les bases de $V_2$. Qui est $\vec{v}$ ?

Supposons qu’un tel vecteur $\vec{v}$ existe et soit non-nul. Alors, pour toute base $(\overrightarrow{i}, \;\overrightarrow{j})$, $(\overrightarrow{a}, \;\overrightarrow{b})$ ou encore $(\overrightarrow{c}, \;\overrightarrow{d})$ on a \begin{align} \overrightarrow{v} &= v_x \; \overrightarrow{i} + v_y \; \overrightarrow{j} \\ &= v_x \; \overrightarrow{a} + v_y \; \overrightarrow{b} \\ &= v_x \; \overrightarrow{c} + v_y \; \overrightarrow{d}.\end{align}

Soit $\overrightarrow{w}$ un vecteur non-colinéaire à $\overrightarrow{v}$. Considérons à présent la base $(\overrightarrow{v}, \; \overrightarrow{w})$ de $V_2$ obtenue à partir de $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$. Comme $\overrightarrow{v}$ a les mêmes coordonnées dans toutes les bases de $V_2$, on a $$\overrightarrow{v} = v_x \; \overrightarrow{v} + v_y \; \overrightarrow{w}.$$ On peut supposer que que $v_x \neq 1$ car dans le cas contraire il vient immédiatement que $\overrightarrow{w}$ est le vecteur nul, qui est colinéaire à tout vecteur. Or, $\overrightarrow{w}$ est supposé non-colinéaire à $\overrightarrow{v}$. On peut ré-écrire la dernière égalité comme $$ \overrightarrow{v}\;(1-v_x) = v_y \;\overrightarrow{w}.$$ Le réel $v_x$ étant supposé différent de $1$, on peut diviser les deux membres de cette égalité par $(1-v_x)$ et l’on obtient $$ \overrightarrow{v} = \dfrac{v_y}{1-v_x} \;\,\overrightarrow{w}.$$ Cette égalité établit que $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont colinéaires, en totale contradiction avec notre hypothèse stipulant que $(\overrightarrow{v}, \; \overrightarrow{w})$ est une base de $V_2$.

Par conséquent, il ne peut exister un vecteur $\overrightarrow{v}$ non-nul ayant les mêmes coordonnées dans toutes les bases de $V_2$.

Par conséquent, $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$. Notons que le vecteur $\overrightarrow{OO}$, associé à l’origine, i.e., associé au point $$O = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ de tout repère du plan, est le vecteur nul.

Le point $O$ est par convention choisi comme origine du repère formé à partir de la base utilisée, et ce point a les mêmes coordonnées dans toutes les bases, que ce soit dans le plan, où l’on a $$ O = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ ou encore dans l’espace, avec $$O= \begin{pmatrix} 0 \\ 0  \\0 \end{pmatrix}.$$