QDC14 (22-SPO1U12-C1-QDC14)

Soit la base $(\vec{\imath}, \vec{\jmath})$ de $V_2$.

Combien de bases se trouvent parmi les trois couples suivants : $(-\vec{\imath},-\vec{\jmath}),(\vec{\jmath}, \vec{\jmath})$ et $(\vec{\jmath}, \vec{\imath})$ ?

Remémorons-nous tout d’abord la définition d’une base en consultant le début de la section 3.1.2 page 22 :

Pour chaque couple $(\overrightarrow{a}, \;\overrightarrow{b})$ de l’énoncé de la question de cours $14$, déterminerons si $\overrightarrow{a}$ et $\overrightarrow{b}$ sont colinéaires ou non colinéaires. En effet, une telle paire$(\overrightarrow{a}, \;\overrightarrow{b})$ ne peut constituer, par définition, une base, si ses vecteurs sont colinéaires !

Nous savons ici que $(\overrightarrow{i}, \;\overrightarrow{j})$ est par hypothèse une base de $V_2$ (c’est mentionné par l’énoncé).

Premier couple $(-\overrightarrow{i}, \;-\overrightarrow{j})$

Les vecteurs $-\overrightarrow{i}$ et $-\overrightarrow{j}$ sont ils colinéaires ?

Raisonnons par l’absurde pour montrer que ce n’est pas le cas.

Supposons que $-\overrightarrow{i}$ et $-\overrightarrow{j}$ sont colinéaires et déduisons-en une contradiction sur une hypothèse initiale :

Par définition de la colinéarité (section 3.1.1), il existe alors un réel non-nul $k$ tel que $$-\overrightarrow{i} = k\; \,(-\,\overrightarrow{j}).$$

Multiplions par $-1$ les deux membres de cette égalité pour obtenir

$$ \ve{i} = k\; \,\overrightarrow{j}.$$

Supposer que $-\overrightarrow{i}$ et $-\overrightarrow{j}$ sont colinéaires nous conduit donc à la colinéarité de $\overrightarrow{i}$ avec $\overrightarrow{j}$, en totale contradiction avec l’hypothèse stipulant que $(\overrightarrow{i}, \;\overrightarrow{j})$ est une base !

Nous en déduisons que $-\overrightarrow{i}$ et $-\overrightarrow{j}$ ne sont pas colinéaires.

Par conséquent, $(-\overrightarrow{i}, \; – \;\overrightarrow{j})$ est une base.

Second couple $(\overrightarrow{j}, \;\overrightarrow{j})$

Le vecteur $\overrightarrow{j}$ est-il colinéaire avec lui-même?

On a $$ \overrightarrow{j} = 1 \; \, \overrightarrow{j}. $$On a donc un réel non-nul $k=1$ tel que $\overrightarrow{j} = k \; \, \overrightarrow{j}$. On en déduit que $\overrightarrow{j}$ est colinéaire avec lui-même. Plus généralement, l’égalité $$\overrightarrow{v} = 1 \; \, \overrightarrow{v}$$ nous permet d’affirmer que tout vecteur est colinéaire avec lui-même.

Remarque : Nous venons de montrer que la relation de colinéarité est reflexive. Pour tout vecteur $\overrightarrow{v}$, la proposition $\overrightarrow{v}$ est colinéaire à $\overrightarrow{v}$ est vraie.

Ainsi, le couple $(\overrightarrow{j}, \;\overrightarrow{j})$ n’est pas une base de $V_2$.

Troisième couple $(\overrightarrow{j}, \;\overrightarrow{i})$

Ici, pas besoin de chercher bien loin. Par hypothèse (énoncé) le couple $(\overrightarrow{i}, \;\overrightarrow{j})$ forme une base de $V_2$. Par conséquent, $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$ ne sont pas colinéaires.

En raisonnant par l’absurde, on peut montrer que $\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{i}$ ne sont alors pas colinéaires. Supposons $\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{i}$ colinéaires : Il existe alors un réel non-nul $k$ tel que $\overrightarrow{j} = k \overrightarrow{i}$, c’est-à-dire que l’on a $$\overrightarrow{i} = \dfrac{1}{k} \;\, \overrightarrow{j}.$$ Nous obtenons donc que $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$ sont colinéaires, en contradiction avec l’hypothèse (énoncé) que le couple $(\overrightarrow{i}, \;\overrightarrow{j})$ forme une base de $V_2$. Les vecteurs $\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{i}$ ne sont donc pas colinéaires…

Remarque : Nous venons de montrer que la relation de colinéarité est symétrique : Si un vecteur $\overrightarrow{v_1}$ est colinéaire à un vecteur $\overrightarrow{v_2}$, alors $\overrightarrow{v_2}$ est colinéaire à $\overrightarrow{v_1}$.

Soit la base $(\vec{\imath}, \vec{\jmath})$ de $V_2$.

Combien de bases se trouvent parmi les trois couples suivants : $(-\vec{\imath},-\vec{\jmath}),(\vec{\jmath}, \vec{\jmath})$ et $(\vec{\jmath}, \vec{\imath})$ ?

Remémorons-nous tout d’abord la définition d’une base en consultant le début de la section 3.1.2 page 22 :

Pour chaque couple $(\overrightarrow{a}, \;\overrightarrow{b})$ de l’énoncé de la question de cours $14$, déterminerons si $\overrightarrow{a}$ et $\overrightarrow{b}$ sont colinéaires ou non colinéaires. En effet, une telle paire$(\overrightarrow{a}, \;\overrightarrow{b})$ ne peut constituer, par définition, une base, si ses vecteurs sont colinéaires !

Nous savons ici que $(\overrightarrow{i}, \;\overrightarrow{j})$ est par hypothèse une base de $V_2$ (c’est mentionné par l’énoncé).

Premier couple $(-\overrightarrow{i}, \;-\overrightarrow{j})$

Les vecteurs $-\overrightarrow{i}$ et $-\overrightarrow{j}$ sont ils colinéaires ?

Raisonnons par l’absurde pour montrer que ce n’est pas le cas.

Supposons que $-\overrightarrow{i}$ et $-\overrightarrow{j}$ sont colinéaires et déduisons-en une contradiction sur une hypothèse initiale :

Par définition de la colinéarité (section 3.1.1), il existe alors un réel non-nul $k$ tel que $$-\overrightarrow{i} = k\; \,(-\,\overrightarrow{j}).$$

Multiplions par $-1$ les deux membres de cette égalité pour obtenir

$$ \ve{i} = k\; \,\overrightarrow{j}.$$

Supposer que $-\overrightarrow{i}$ et $-\overrightarrow{j}$ sont colinéaires nous conduit donc à la colinéarité de $\overrightarrow{i}$ avec $\overrightarrow{j}$, en totale contradiction avec l’hypothèse stipulant que $(\overrightarrow{i}, \;\overrightarrow{j})$ est une base !

Nous en déduisons que $-\overrightarrow{i}$ et $-\overrightarrow{j}$ ne sont pas colinéaires.

Par conséquent, $(-\overrightarrow{i}, \; – \;\overrightarrow{j})$ est une base.

Second couple $(\overrightarrow{j}, \;\overrightarrow{j})$

Le vecteur $\overrightarrow{j}$ est-il colinéaire avec lui-même?

On a $$ \overrightarrow{j} = 1 \; \, \overrightarrow{j}. $$On a donc un réel non-nul $k=1$ tel que $\overrightarrow{j} = k \; \, \overrightarrow{j}$. On en déduit que $\overrightarrow{j}$ est colinéaire avec lui-même. Plus généralement, l’égalité $$\overrightarrow{v} = 1 \; \, \overrightarrow{v}$$ nous permet d’affirmer que tout vecteur est colinéaire avec lui-même.

Remarque : Nous venons de montrer que la relation de colinéarité est reflexive. Pour tout vecteur $\overrightarrow{v}$, la proposition $\overrightarrow{v}$ est colinéaire à $\overrightarrow{v}$ est vraie.

Ainsi, le couple $(\overrightarrow{j}, \;\overrightarrow{j})$ n’est pas une base de $V_2$.

Troisième couple $(\overrightarrow{j}, \;\overrightarrow{i})$

Ici, pas besoin de chercher bien loin. Par hypothèse (énoncé) le couple $(\overrightarrow{i}, \;\overrightarrow{j})$ forme une base de $V_2$. Par conséquent, $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$ ne sont pas colinéaires.

En raisonnant par l’absurde, on peut montrer que $\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{i}$ ne sont alors pas colinéaires. Supposons $\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{i}$ colinéaires : Il existe alors un réel non-nul $k$ tel que $\overrightarrow{j} = k \overrightarrow{i}$, c’est-à-dire que l’on a $$\overrightarrow{i} = \dfrac{1}{k} \;\, \overrightarrow{j}.$$ Nous obtenons donc que $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$ sont colinéaires, en contradiction avec l’hypothèse (énoncé) que le couple $(\overrightarrow{i}, \;\overrightarrow{j})$ forme une base de $V_2$. Les vecteurs $\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{i}$ ne sont donc pas colinéaires…

Remarque : Nous venons de montrer que la relation de colinéarité est symétrique : Si un vecteur $\overrightarrow{v_1}$ est colinéaire à un vecteur $\overrightarrow{v_2}$, alors $\overrightarrow{v_2}$ est colinéaire à $\overrightarrow{v_1}$.