QDC13 (22-SPO1U12-C1-QDC13)
Soit $(\vec{\imath}, \vec{\jmath})$ une base de $V_2$. Quelles sont les coordonnées des vecteurs $\vec{\imath}, \vec{\jmath}$ et $\vec{\imath}+\vec{\jmath}$ par rapport à cette base ? Qui est le vecteur qui a comme cordonnées par rapport à la base $(\vec{\imath}, \vec{j})$ de $V_2$ les nombres $-1$ et $0$ ?
La paire ordonnée $(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ est ici supposée être une base de $V_2$, c’est-à-dire, une base du plan.
Notons que le plan est dénoté par $V_2$ au sein du polycopié.
Je vous invite tout d’abord à jeter un coup d’oeil à la définition d’une base, en page 22, section 3.1.2 du polycopié, ainsi qu’au résultat très important mentionné juste après.
Quelles sont les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{i}$ par rapport à la base $(\overrightarrow{i}, \;\overrightarrow{j})$?
On écrit $$\overrightarrow{i} = 1\; \, \overrightarrow{i} + 0 \, \; \overrightarrow{j}.$$
Ainsi, les coordonnées de $\overrightarrow{i}$ dans cette base sont\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}. La convention en ce qui concerne les vecteurs consiste à les représenter par leurs coordonnées, en colonnes. Par exemple, on écrira :
$$ \overrightarrow{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$
Quelles sont les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{j}$ par rapport à la base $(\overrightarrow{i}, \;\overrightarrow{j})$ ?
Nous avons $$\overrightarrow{j} = 0\; \, \overrightarrow{i} + 1 \, \; \overrightarrow{j}.$$
Par conséquent, on a $$ \overrightarrow{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$
Quelles sont les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}$ par rapport à la base $(\overrightarrow{i}, \;\overrightarrow{j})$ ?
Nous pouvons procéder de deux façons :
Soit nous utilisons le fait que nous pouvons directement sommer les coordonnées de $\overrightarrow{i}$ avec celles de $\overrightarrow{j}$, comme indiqué dans la section 3.5.2 Coordonnées de la somme de deux vecteurs, que je vous invite à consulter, ce qui donne
$$\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}.$$
Soit nous pouvons remarquer que $$\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} = 1\; \, \overrightarrow{i} + 1 \; \,\overrightarrow{j}$$ et appliquer le résultat très important suivant la définition d’une base, en page 22. Nous obtenons alors également $$\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}.$$
Qui est le vecteur qui a comme coordonnées par rapport à la base $(\overrightarrow{i}, \;\overrightarrow{j})$ de $V_2$ les nombres $-1$ et $0$ ?
Le vecteur qui a comme coordonnées par rapport à la base $(\overrightarrow{i}, \;\overrightarrow{j})$ de $V_2$ s’exprime, par définition, comme
$$ -1 \; \, \overrightarrow{i} + 0 \; \, \overrightarrow{j} $$
Ce vecteur est bien sûr égal au vecteur $- \overrightarrow{i}$.