QDC12 (22-SPO1U12-C1-QDC12)
Soit $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$ deux vecteurs non colinéaires. Trouvez le seul vecteur $\vec{v}$ colinéaire aussi bien avec $\vec{\imath}$ qu’avec $\vec{\jmath}$.
Les vecteurs $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$ sont supposés non-colinéaires. Nous pressentons que le vecteur $\overrightarrow{v}$ recherché est le vecteur nul $\overrightarrow{0}$ car ce dernier, n’ayant pas de direction prescrite, est colinéaire avec tous les vecteurs.
Établissons cela rigoureusement, en procédant par l’absurde :
Nous commencerons par supposer qu’il existe un vecteur $\overrightarrow{v}$ non-nul et colinéaire à $\overrightarrow{i}$ ainsi qu’à $\overrightarrow{j}$, et que $\ve{i}$ et $\ve{j}$ ne sont pas colinéaires;. Nous déduirons de cela une contradiction avec une hypothèse de l’énoncé. Il viendra alors immédiatement qu’il ne peut exister un vecteur $\overrightarrow{v}$ non-nul et colinéaire à $\overrightarrow{i}$ ainsi qu’à $\overrightarrow{j}$ lorsque ces deux derniers ne sont pas colinéaires, c’est-à-dire que l’on a obligatoirement $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$.
Soit $\overrightarrow{v}$ un vecteur non-nul colinéaire avec $\overrightarrow{i}$ ainsi qu’avec $\overrightarrow{j}$.
Nous allons appliquer deux fois la définition de la page 21, section 3.1.1 du polycopié :
Le vecteur $\overrightarrow{v}$ étant supposé vecteur non-nul, et colinéaire avec $\overrightarrow{i}$, la définition de colinéarité surlignée ci-dessus nous permet d’affirmer qu’il existe un réel non-nul $k_1$ tel que $$\overrightarrow{v} = k_1 \;\overrightarrow{i}.$$
Le vecteur $\overrightarrow{v}$ étant supposé vecteur non-nul et colinéaire avec $\overrightarrow{j}$, la définition de colinéarité surlignée ci-dessus nous permet d’affirmer qu’il existe un réel non-nul $k_2$ tel que $$\overrightarrow{v} = k_2 \;\overrightarrow{j}.$$
En combinant les deux égalités ci-dessus, on a :
$$ \overrightarrow{v} = k_1 \; \overrightarrow{i} = k_2 \;\overrightarrow{j}$$
Les réels $k_1$ et $k_2$ étant supposés non-nuls, nous pouvons écrire $$\overrightarrow{i} = \dfrac{k_2}{k_1} \overrightarrow{j}$$ ou encore, de façon équivalente, on peut aussi écrire $$ \overrightarrow{j} = \dfrac{k_1}{k_2} \overrightarrow{i}.$$
Il est alors clair, en regardant la définition de colinéarité surlignée en jaune, que notre hypothèse sur l’existence d’un vecteur $\overrightarrow{v}$ non-nul colinéaire à la fois avec $\overrightarrow{i}$ ainsi qu’avec $\overrightarrow{j}$ nous conduit à une contradiction :
A la lumière de la définition de la colinéarité, une expression de la forme $$\overrightarrow{i} = k \;\overrightarrow{j},$$ avec $k\neq 0$, qui est, en passant, équivalente à $$\overrightarrow{j} = \dfrac{1}{k} \; \overrightarrow{i},$$ nous permet de déduire que $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$ sont colinéaires, contredisant ainsi l’hypothèse de non-colinéarité de $\overrightarrow{i}$ avec $\overrightarrow{j}$ mentionnée par l’énoncé.
Ainsi, pour tous vecteurs $\ve{i}, \ve{j}$ non colinéaires, il ne peut exister de vecteur non-nul $\overrightarrow{v}$ colinéaire avec $\overrightarrow{i}$ ainsi qu’avec $\overrightarrow{j}$ alors que $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$ ne sont pas colinéaires. On en déduit que $\overrightarrow{v}$ est le vecteur nul : $$ \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}.$$