QDC11 (22-SPO1U12-C1-QDC11)

Soit $A, B$ et C, les sommets d’un triangle équilatéral du plan, et $D$ un point du même plan. Parmi les vecteurs $\overrightarrow{D B}$ et $\overrightarrow{D C}$, combien sont colinéaires avec $\overrightarrow{D A}$ ? (indication : en fonction de la position du point $D$, la réponse peut être $2,1$ ou $0$)

Premier cas :

On suppose que le point $D$ est situé sur la droite passant par les points $A$ et $C$. Alors, $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{DA}$ sont colinéaires : En effet, les points $C, D$ et $A$ sont alignés. Par conséquent les deux vecteurs $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{DA}$ ne peuvent qu’avoir la même direction !

Jetez un coup la section 1 du polycopié si vous avez des doutes sur la notion de « direction ».

Notons que ce cas couvre aussi la situation $D = C$. En effet, si $D=C$, alors $\overrightarrow{CD}$ est le vecteur nul. Le vecteur nul $\overrightarrow{0}$ étant par définition colinéaire avec tous les vecteurs, il vient immédiatement que $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{DA}$ sont colinéaires.

Si $D$ est distinct de $A$, alors $\overrightarrow{CD}$ est le seul vecteur colinéaire à $\overrightarrow{DA}$.

SI $D=A$, alors $\overrightarrow{DA}$ est le vecteur nul. Par conséquent, $\overrightarrow{DA}$ est colinéaire avec $\overrightarrow{DB}$ et $\overrightarrow{DC}$ lorsque $D=A$.

On suppose que $D$ est situé sur la droite passant par les points $A$ et $B$, comme illustré ci-dessous.

Nous avons déjà traité le cas où $D = A$, dans le cas précédent. C’est-à-dire, le cas où $D$ est à l’intersection de la droite passant par $A$ et $C$ et de celle passant par $A$ et $B$. Supposons que $D\neq A$. Les vecteurs $\overrightarrow{DB}$ et $\overrightarrow{DA}$ sont alors colinéaires car les points $A,B$ et $D$ sont alignés.

Si $D$ est égal à $B$, alors $\overrightarrow{DB}$ est le vecteur nul, et $\overrightarrow{DB}$ et $\overrightarrow{DA}$ sont colinéaires.

Si $D$ est à l’extérieur du triangle $ABC$ et n’est ni situé sur la droite qui passe par $A$ et $C$ (comme sur la figure de l’énoncé) ni situé sur celle passant par $A$ et $B$, alors ni $\overrightarrow{DC}$ ni $\overrightarrow{DB}$ ne sont colinéaires avec $\overrightarrow{DA}$.