QDC10 (22-SPO1U12-C1-QDC10)
Soit $\overrightarrow{v_1}$ et $\overrightarrow{v_2}$ deux vecteurs qui n’ont pas la même direction. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse :
$$\begin{gathered}
(2+\pi) \overrightarrow{v_1}=2+\pi \overrightarrow{v_1} \\
(1 \times 3) \overrightarrow{v_1}=3 \overrightarrow{v_1} \\
(2+3)\left(\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}\right)=2 \overrightarrow{v_1}+3 \overrightarrow{v_2}
\end{gathered}$$
Le but de la question est ici de vérifier que vous avez bien lu le contenu de la section 2.2 du polycopié.
Commençons par la première égalité dont nous devons vérifier la véracité :
$$ (2 + \pi) \overrightarrow{v_1} = 2 + \pi \, \overrightarrow{v_1}$$
Vraie ou fausse ?
Pour répondre, regardons les propriétés de distributivité devant être satisfaites par la multiplication entre un nombre réel et un vecteur, et plus particulièrement celle surlignée en jaune ci-dessous :
Attention, la troisième propriété n’est pas une propriété de distributivité : Cette propriété est connue sous le nom d’associativité du produit d’un vecteur par des réels. Les deux premières propriétés sont des propriétés de distributivité.
Appliquons la formule surlignée en jaune en prenant $ a = 2, b = \pi$ et $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v_1}$.
On a ainsi : $$ (2 + \pi) \overrightarrow{v_1} = 2\overrightarrow{v_1} + \pi \, \overrightarrow{v_1}$$
Ainsi, nous comprenons que le membre de droite de la première égalité proposée par l’énoncé est incorrect !
L’égalité $ (2 + \pi) \overrightarrow{v_1} = 2 + \pi \, \overrightarrow{v_1}$ est donc fausse !
Le but ici est de vérifier si vous avez percuté sur la distributivité de la multiplication d’un nombre réel par un vecteur (première formule, en jaune).
$$(1\times 3) \overrightarrow{v_1} = 3 \overrightarrow{v_1}$$
Vraie ou fausse ?
Appliquons la troisième formule $$(a\times b)\overrightarrow{v} = a \times (b \overrightarrow{v}) $$ donnée en fin de page 20 avec $a=1$, $b=3$ et $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v_1}$ :
On a \begin{align} (1\times 3) \overrightarrow{v_1} &= 3 \times \, ( 1\, \overrightarrow{v_1}) \\
&= 3 \,\overrightarrow{v_1} \end{align}
En pratique, on ira droit au but, sans utiliser la formule avec $a$ et $b$… En effet, on a $1\times 3 = 3$, donc $(1\times 3) \overrightarrow{v_1} = 3 \overrightarrow{v_1}$. Sur ce genre de choses là, il ne faut pas perdre de temps : $1$ fois $3$ est égal à $3$, il ne faut pas chercher plus loin.
$$(2 + 3)(\overrightarrow{v_1} +\overrightarrow{v_2}) = 2\overrightarrow{v_1} + 3\overrightarrow{v_2}$$
Vraie ou fausse ?
Nous allons appliquer la première formule en bas de page 20
avec $a=2$, $b=3$ et $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v_1} + \overrightarrow{v_2}$.
Nous obtenons ainsi \begin{align} (2 + 3)(\overrightarrow{v_1} +\overrightarrow{v_2}) &= 2(\overrightarrow{v_1} +\overrightarrow{v_2})+ 3(\overrightarrow{v_1} +\overrightarrow{v_2}) \\ &= 2\overrightarrow{v_1} + 3 \overrightarrow{v_1} + 2 \overrightarrow{v_2} + 3\overrightarrow{v_2} \\ &= 5\overrightarrow{v_1} + 5\overrightarrow{v_2}.\end{align}
Tout comme pour la vérification de la toute première égalité, en pratique, on ne va pas s’embêter à utiliser la formule avec $a$ et $b$ pour traiter de tels, il faut que ça devienne pour vous un automatisme ! On peut directement écrire $2+3 = 5$ et calculer dans la foulée $$ 5(\overrightarrow{v_1} +\overrightarrow{v_2}) = 5, \overrightarrow{v_1} + 5\overrightarrow{v_2}.$$