Produit vectoriel
Il existe deux opérations que l’on peut appliquer à des vecteurs $\ve{u}$ et $\ve{v}$.
La première vous est familière et s’applique à des vecteurs du plan ou de l’espace, sans restriction.
C’est le produit scalaire, dont nous avons déjà parlé, qui retourne la quantité scalaire (i.e., réelle) dénotée par $\ve{u} \cdot \ve{v}$, appelée le produit scalaire des vecteurs $\ve{u}$ et $\ve{v}$.
En anglais, le produit scalaire est appelé dot product. Cela fait parfaitement sens de par la notation $\cdot$ utilisée pour le produit scalaire. Un point comme $\cdot$ est appelé dot en anglais.
La seconde opération que l’on peut appliquer à des vecteurs $\ve{u}$ et $\ve{v}$ est le produit vectoriel.
Comme l’indique son nom, le produit vectoriel est une opération qui prend deux vecteurs $\ve{u}$ et $\ve{v}$ en entrée et qui donne en sortie un vecteur $\ve{u} \wedge \ve{v}$.
Particularité à ne jamais perdre de vue : Le produit vectoriel est défini uniquement pour les vecteurs de l’espace. Notez cependant qu’il est toujours possible de convertir un vecteur du plan $\ve{u} = \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \end{pmatrix}$ en un vecteur de l’espace. Il suffit pour cela de rajouter une troisième coordonnée $u_z = 0$ à notre vecteur $\ve{u}$, de façon à ce que nous puissions écrire $$\ve{u} = \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \\ 0 \end{pmatrix}$$
Je le redis : PAS D’HISTOIRES DE PRODUIT VECTORIEL AVEC LES VECTEURS DU PLAN. Les vecteurs du plan peuvent être identifiés facilement : Ils ne possèdent que deux coordonnées, et sont par conséquent de la forme $$\ve{u} = \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \end{pmatrix}.$$ Si vous voulez calculer des produits vectoriels avec des vecteurs du plan, convertissez les d’abord en vecteurs de l’espace en rajoutant une troisième coordonnée $$z=0$$ à tous vos vecteurs du plan. Un exemple d’application de cette technique est fourni par l’exercice 20.
Le produit vectoriel de $\ve{u}$ et $\ve{v}$ est caractérisé par les propriétés suivantes :
Première propriété : Le vecteur $\ve{u} \wedge \ve{v}$ est perpendiculaire à la fois à $\ve{u}$ et à $\ve{v}$. Notez que cette propriété fait sens car nous travaillerons toujours dans le contexte d’un repère avec une origine, et cela nous permet de ramener tous les vecteurs au même point de départ : C’est l’origine du repère. Notez que deux vecteurs $\ve{u}$ et $\ve{v}$ non colinéaires ramenés au même point initial sont toujours contenus dans le même plan.
Seconde propriété : La norme du vecteur $\ve{u} \wedge \ve{v}$, dénotée par $\|\ve{u} \wedge \ve{v}\|$ est égale à $\|\ve{u} \| \| \ve{v}\| \sin(\theta)$ : $$ \ve{u} \wedge \ve{v} =\|\ve{u} \| \| \ve{v}\| \sin(\theta)$$
En termes d’aire, $\|\ve{u} \| \| \ve{v}\| \sin(\theta)$ est l’aire du parallélogramme défini par $\ve{u}$ et $\ve{v}$. Pour mémoire, l’aire d’un parallélogramme est égale à
$$\text{base} \times \text{hauteur}$$
Prenons deux vecteurs $\ve{u}$, $\ve{v}$ et faisons un schéma du parallélogramme obtenu via ces derniers.
La base a ici une longueur égale à la norme de $\ve{u}$.
$$ \text{base} = \| \ve{u} \| $$
En ce qui concerne la hauteur, dénotée par $h$, on fait usage de la relation $$\sin{\theta} = \dfrac{h}{\| \ve{v}\|}$$ dont on tire $$h = \| \ve{v} \| \sin{\theta}.$$
L’aire du parallélogramme de la figure ci-dessus est donc égale à $$\text{base} \times \text{hauteur} = \| \ve{u} \| \| \ve{v} \| \sin{\theta}.$$
Nous allons refaire la même chose en changeant les notations.
Considérons deux vecteurs $\ve{AB}$ et $\ve{AC}$. Pour former le parallélogramme associé à ces deux vecteurs, soit $D$ le point tel que $\ve{AB} = \ve{CD}$, ce qui entraîne automatiquement $\ve{AC} = \ve{BD}$.
Nous pouvons donc former le parallélogramme $ABCD$ :
La base de ce parallélogramme a longueur $\|\ve{AC} \|$, tandis que la hauteur $h$ de ce dernier est égale à $$h = \| \ve{AB} \| \sin{\theta}.$$
On a \begin{align} \operatorname{Aire}(ABCD) &= \text{base} \times \text{hauteur} \\ &= \| \ve{AC} \| \| \ve{AB} \| \sin{\theta} \end{align}
Gardez à l’esprit que l’on peut diviser le parallélogramme en deux triangles en choisissant l’une des deux diagonales du parallélogramme. Choisissons la diagonale $[BC]$ du parallélogramme $ABDC$ divisons ce dernier en deux parties égales : Le triangle $ABC$ et le triangle $BDC$.
On a \begin{align} \operatorname{Aire}(ABC) = \operatorname{Aire}(BCD) &= \dfrac{\operatorname{Aire(ABDC)}}{2} \\ &= \dfrac{ \| \ve{AC} \| \| \ve{AB} \| \sin{\theta}}{2} \end{align}
En termes de coordonnées, le produit vectoriel $\ve{u} \wedge \ve{v}$ de deux vecteurs dont les coordonnées sont exprimées par rapport à une base orthonormée directe, e.g., $$\ve{u}=\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)\quad \text{et} \quad \ve{v} = \left(\begin{array}{l}x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{array}\right)$$
est obtenu par la formule \begin{aligned} \left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right) \wedge \left(\begin{array}{l}x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}y z^{\prime}-z y^{\prime} \\ x^{\prime} z-z^{\prime} x \\ x y^{\prime}-y x^{\prime} \end{array}\right) \end{aligned}
On peut aussi ré-écrire cela en mettant un signe moins bien apparent sur la seconde ligne du produit vectoriel :
\begin{aligned} \left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right) \wedge \left(\begin{array}{l}x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}y z^{\prime}-z y^{\prime} \\ -(z^{\prime} x-x^{\prime} z) \\ x y^{\prime}-y x^{\prime} \end{array}\right) \end{aligned}